随机信号分析第五版课后答案7篇随机信号分析第五版课后答案随机信号分析基础第三章课后答案第三章Chapter==========================================3下面是小编为大家整理的随机信号分析第五版课后答案7篇,供大家参考。
篇一：随机信号分析第五版课后答案
随机信号分析基础第三章课后答案 第三章 Chapter ========================================== 3. 2 随机过程t为tt式中， 具有瑞利分布， 其概率密度为 Pa a 3 2 e a222 ， a， 在， 2上均匀分布， 与 是两个相互独立的随机变量， 为常数， 试问 X(t) 是否为平稳过程。
解： 由题意可得: t 2 at a 2 e a22 2 1a1a1a2e2 a22 2 2 1a 1 t12 a222 Rt1，t2t1t2at1at2 2 1a e22 1a1 a 2 a 2 2 e a2 a221at1t2 2 2 112 2ae a211（22211 tttt212112 2 a21e a222 a2a211222222 t2t1aee1at2t122a2 2211e 211 t2t122t2t12t2t122 可见t与 t 无关， Rt1， t2与 t 无关， 只与t2t1有关。
t是平稳过程另解： t(t) (t) R(tR t) 2(t)((t) ) 2(t) ((t) ) 2 ((2t) 2) ()2 2() 2 t是平稳过程 3. 3 设 S(t) 是一个周期为 T 的函数， 随机变量在（， T） 上均匀分布， 称 X(t) =S（tt） R 为随相周期过程， 试讨论其平稳性及各态遍历性。
解： 111X(t) S(t) S(t) S(t) TTT 1TTTTTtS(t) 1t1S() 1T1 1 T1S() 1S() 11ta1tT TTT11R(tR t) S(t) S(t) S(t) S(t)S(t) S(t) 1TT 1TTt11 1 1 S() S() 1S() S() 1R()tT1 1 1 T t是平稳过程 3. 4 设 X(t) 随相周期过程R 图？ 给出了其一个样本函数， 周 期 TR 幅度 a 都是常数， t 为（， T） 上均匀分布。
求均值。
解： 样本函数为： a(t-t1T) T (t) a(t-t-T1T) 4Tt1Ttt1Tt1TTTTtt1T4 tt-TT1aTX(t) (t) 1t2(t-t) 1t(t-t) 1tT4TtTT4t-TT 4aTtt-TT 2(t-t) 2 t-TT(t-t) 2 t-TT44T 4aT2a2-(TT) () 2T X(t) therEEe 3. 6 随机过程 X(t) (t) 或为随机变量或不是， 式中 为常数，(R 2) 上均匀分布， 求： （1） 时间自相关函数及集自相关函数。
（2） 具备什么条件两种自相关函数才相等。
解： (1) 集自相关 R(t1R t2) 2(t1) (t2) 12 (t1t2) 2 12 () 2 2(t1t22) (t1t2) （2） 时间自相关 12() 1E1(t) (t) 1tT2TT 1(2t) () 1t1E1T2T2T2TT 2() 2 22 时， 即 为常数时， 两者相等。
3. 7 随机过程 X(t) E1tXt 式中， ， X 均为零均值的随机变量， 求证： X(t) 是均值各态历经， 而均方值无各态历经性。
解： X(t) = 1X(t) 2E1tXt E1tX t 2E1tXt1t 22X2(t) E1tXt2E12tX 2t2 XtE1t E1tX t2222 1X(t) 222E1tXt 21t1(2X2) 4 故， X(t) 均值各态遍历， 均方值则非。
3. 设 X(t) 与 Y(t) 为统计独立的平稳过程， 求证他们的乘积 构成的随机过程 Z(t) =X(t) Y（t） 也是平稳的。
解： Z(t) X(t) Y（t) X(t) Y（t) 1X1Y RZ(t1R t2) X(t1)Y(t1) X(t2) Y(t2) X(t1) X(t2) Y(t2) Y(t2) RX(t1R t2) RY(t1R t2) t是平稳过程 3. 9 设 X(t) 与 Y(t) 为单独和联合平稳， 求： （1） Z（t） =X(t) tY(t) 的自相关函数 （2） X(t) 与 Y（t） 统计独立时的结果 （3） X(t) 与 Y（t） 统计独立时且均值为零时的结果。
解： RZ(t1R t2) X(t1) Y(t1) X(t2) Y(t2) RX() RY() RXY() RXY() X(t1) X(t2) Y(t1) X(t2) X(t1) Y(t2)Y(t2) Y(t2) RZ() RX() RY() 21X1Y RZ() RX() RY() RX() 4e3. 1 平稳过程 X(t) 的自相关系数为： 3 （1） 求 X2(t) 和2 （2） 若将正弦分量视为信号， 其他为噪声， 求功率信噪 比 解： （1） X2(t) R（） 41 1R（） TT 221X21X1E12 RS() 3 RR() 4e RS() 1 ； RR() 4S1T4 R 3. 12 随机过程 X(t) 为： X(t) (t)， 式中 R R 统计独立随机变量， 其中 的均值为 2， 方差位 4， (R ) 上均匀分布。
R 上均匀分布， X（他 t） 是否各态历经， 并求出相关函数。
解： X(t) (t) tE1tE1 t E1t E1 X(t) E 22TEa(Et) 1t EEE 所以是均值各态历经。
3. 13 设 X(t) 与 Y(t)为平稳过程， 且相互独立， 他们的自相关函数分别为： RX2e2 RY9e32 设 Z（t） =VX(t) Y(t) V 是均值为 2， 方差为 9 的随机变量， 求 Z(t)的均值， 方差， 和相关函数。
解： RX2e22 1 2 XRY9eRX2e3221 RY9e32291Y RZ(t1R t2) VX(t1) Y(t1) VX(t2) Y(t2) V2X(t1) X(t2) Y(t2) Y(t2) V2RX() RY() RZ26e Z(t) RZ262329e 2ZRZRZ26 3. 14 设 X(t) 是雷达的发射信号， 遇到目标后的回波信号 aX(t) R a1R 1 是信号返回时间， 回报信号必然伴有噪声， 计 为 R(t) R 于是接收到的全信号为： Y(t) aX(t-1) R(t) （1） 若 X（t） 和 Y（t） 联合平稳， 求互相关函数 RXY （2） 在（1） 条件下， R(t) 均值为零， 并与 X(t) 相互独 立， 求 RXY 解： RXY(t1R t2) (aX(t1-1) R(t1) X(t2) a2X(t1-1) X(t2) R(t1) X(t2) a2R（RXR(t1， t2) X-1） （2） RXY(t1R t2) (aX(t1-1) R(t1) X(t2) a2X(t1-1) X(t2) R(t1) X(t2) a2R（RXR(t1， t2) X-1） a2R（X-1） 3. 1 设 X(t) 与 Y(t) 单独且联合平稳， 且相互独立， X(t) a（t） Y(t) YE1(t) 式中 aR Y 为常量， (R ) 上均匀分布。
求 互相关函数 RXY， 并讨论在本题的具体情况下， 的互相关函数的意义。
解： RXY(t1R t2) a（t1） YE1（(t1) ） aYE1((2t1) 2) E1() 2 aYE1((2t1) 2) E1()2 aYaYE1((2t1) 2) E1() 22 aYE1() 2 RXY 表明了 X(t) ， Y（t） 两过程同时刻正交。
3. 16 设 X(t) 与 Y(t) 为非平稳过程， 且相互独立， X(t)(t) （t） Y(t) X(t) E1(t) 式中 （t） R X(t) 为相互独立且均值为零的平稳过程， 并有相同的相关函数， 求证： Z（t） =X(t) tY(t) 是宽平稳过程。
证明： Z(t) (t) (t) X(t) E1(t) RZ(t1R t2) X(t1) Y(t1) X(t2) Y(t2) (t1) (t2) t1t22(t) X(t) tE1tX(t1) X(t2) E1t1E1t2 R() () . R() (t1t2) (t1t2) . RX() (t1t2) (t1t2) 3. 17 如图所示的随机过程 X(t) 的样本函数， 它在 t1ta 时刻有宽度为 Y 的矩形脉冲， 脉冲幅度以等概率取a， t 是在周期 ta 上均匀分布的 随机变量， 而且 t 解： (t) x(tt1t) x(tt1tY) R 1R 1R 2R . . . . . . a RZ(t1R t2) 2x(t1t1t)x(t1t1tY) x(t2t1t) x(t2t1tY) 2 x(t1t1t) x(t1t1tY) x(t2t1t) x(t2t1tY) 12 t 21 ttx(t1t1t) x(t1t1tY) x(t2t1t)x(t2t1tY) 1tt1t11tYt2t12t 21YtY(E1) tYEtther X2(t) RX() 21YYa2 tt 3. 2 设 X(t) 为零均值的高斯平稳过程， 若又有一个新的随 2 机过程 Y(t) 满足Y(t) X2(t) R 求证： RY() R2() 2RXX() 证明： RY(t1R t2) X2(t) X2(t) X2(t) ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ 3. 21 设 x（t） 是电阻热噪声产生的电压随机过程， 并有平 稳高斯分布， 若 RC=1-3 C31. 319CR T=3CR 并知热噪声电压的自相关函数为： Rx() RTa1 R CRC 式中 R1. 3123kTCR 为波尔兹曼常数， 求热噪声电压的均值， 方差， 及在某一时刻电压超过 1uV 的概率。
解： RTa C RT X2R() C RTX2R() -Rx()112C1XRx() 2 f(f) 21fepRTRT22CC 2f1ep1fRTRT22CCPf161Pf16116 f211ep1f22 1. 413. 171 3. 14 设 X(t) 是雷达的发射信号， 遇到目标后的回波信号 aX(t) R a1R 1 是信号返回时间， 回报信号必然伴有噪声， 计 为 R(t) R 于是接收到的全信号为： Y(t) aX(t-) R(t) 1 （3） 若 X（t） 和 Y（t） 联合平稳， 求互相关函数 RXY （4） 在（1） 条件下， R(t) 均值为零， 并与 X(t) 相互独 立， 求 RXY 解： RXY(t1R t2) (aX(t1-1) R(t1) X(t2) a2X(t1-1) X(t2) R(t1) X(t2) a2R（RXR(t1， t2) X-1） （2） RXY(t1R t2) (aX(t1-1) R(t1) X(t2) a2X(t1-1) X(t2) R(t1) X(t2) a2R（RXR(t1， t2) X-1） a2R（X-1） 3. 7 随机过程 X(t) E1tXt 式中， ， X 均为零均值的随机变量， 求证： X(t) 是均值各态历经， 而均方值无各态历经性。
解： X(t) = 2E1tXtE1tX t X(t) 2 2E1tXt 1t 2222X(t) E1tXt E1tX2t2X tE1tE1tX t222 1X(t) 222E1tXt 21t1(2X2) 4 故， X(t) 均值各态遍历， 均方值则非。
HaMfS1Xq%E -X4H9Mf SRXq%f-X4G9MfRRXq$f-X3G9 MeRRXp $f-3G 9LeRRWp$f) 3GLeRjWp$u) 3CLeQjWp!u) 2CL1QjW!u) z2CC1QjV! u(z2C 7C1QEV !t(z27C1PEV#t(z17CPE V1#t( y17kP Ex1#t*y16k Phx1#*y1D6k Ohx1 Z*yD6 kYOhx1Z*D 6IYOhT1Z& DIYO gT1Zr& CIYRgT1Yr & tCIaRgT1Yr &EtCIaRgT1Y r&EtCHaRgS1 Yr%EtC4HaRfS 1Yq%E tX4HaMf S1Xq%E-X4H9MfSRXq%f-X4G9 MfRRXq $f-X3G 9MeRRXp$f-3G9LeRRWp$f) 3GLeR jWp$u) 3CLeQjWp!u) 2CL1QjW! u) z2CC1QjV !u(z2C7C1QEV!t(z27C1PE V#t(z17CP EV1#t(y17kPEx1#t*y16k Phx1#*y1D6 kOhx1 Z*yD6kYOhx1Z* D6IYOh T1Z& DIYOhT1Z&DIYOgT1Z r&CIYRgT1 Yr&tCIaRgT 1Yr&EtCHaRg S1Yr%Et C4HaR fS1Yq%EtX4Ha MfS1Xq%E-X4H 9MfSRXq%f-X4 G9MfRRXq$f-X 3G9MeRRXp$f- 3G9LeR RWp$f ) 3GLeRjWp$ u ) 3CLeQjWp !u) 2CL1QjW !u) z2CC1Qj V !u(z2C7C1Q EV! t(z27C1 PEV#t(z17C PEV1#t(y17 kPEx1#t*y1 6kPhx1#*y1 D 6kOhx1#*y 1D6kO hx1Z* yD6kYOhx1Z*D6IYOhT1Z &DIYOgT1 Zr&CIYRgT1Yr&tCIaRg T1Yr&E tCHaR gS1Yr%EtC4HaRfS1Yq%EtX4H aMfS1X q%E-X4 H9MfSRXq%f-X 4G9MfRRXq$f- X3G9MeR RXp$f -3G9LeRRWp$f) 3GLeRjWp $u) 3CLeQjWp!u) 2CL1Q jW! u) z2CC1 QjV!u( z2C7C 1QEV!t(z27 C 1PEV#t(z1 7CPEV1 #t(z1 7CPEV1#t(y 17kPEx1#t* y16kP hx1# *y1D6kOhx1Z *yD6kYOhx1 Z*D6IYOhT 1Z&DIYOg T 1Zr&CIYR gT1Yr& tCIa RgT1Yr&EtCH a RgS1Yr%EtC4 HaRfS1Y q%EtX 4HaMfS1Xq%E- X 4H9MfSRXq%f -X4G9MfRRXq$ f-X3G9MeRRXp $f-3G9LeRRW p$f) 3GLeRj Wp$u) 3CLeQ jW p! u) 2CL1 QjW!u) z2CC 1QjV!u(z2C C1 QjV! u(z2C 7C1QEV!t(z2 7C1PEV#t(z 1 7CPEV1#t( y17kPEx1#t *y16kPhx1# * y1D6kOhx1 Z*yD6k YOhx 1Z*D6IYOh T1 Z&DIYO gT1Zr& CIY RgT1Yr&tCI a RgT1Y r&EtCHaRgS1Y r%Et C4HaRfS1Yq%E tX 4HaMfS1Xq% E-X4H9MfSRXq %f-X4G9MfRRX q$f-X3G9MeRR Xp$f-3G9LeRRWp $f) 3G LeRjWp$u) 3CLeRjWp$u) 3 CLeQjWp! u) 2CL1QjW!u) z2CC1QjV!u (z2C7C1QEV! t(z27C1PEV#t(z17CPEV 1#t(y 17kPE x1#t*y16kPhx1#*y1D6k Ohx1Z *yD6k YOhx1Z*D 6 IYOhT1Z&D 2CC1 QjV!u( z2C7C1QEV!t (z27C1PEV# t(z1 7CPEV1 #t(y17kPEx 1#t*y16kPh x1#t* y16kP hx1#*y1D6kOhx1Z*yD6k YOhx1 Z*D6 IYOhT1Z&DIYOgT1Zr& CIYR gT1Yr& tCIaRgT1Yr&EtCHaRgS1Yr %EtC4 HaRfS1Y q%EtX4HaMfS1Xq%E-X4H9MfS RXq%f -X4G9Mf RRXq$f-X3G9MeRRXp$f-3G9 LeRRWp $f) 3G LeRjWp$u) 3CLeQjWp!u) 2CL1QjW! u) z2CC1 QjV! u (z2C7C1QEV !t(z27C1PEV #t(z27C1PE V #t(z17CP EV1#t(y 17k PEx1#t*y16kPhx1#*y1D6 kOhx1 Z*yD 6kYOhx1Z*D6IYOhT1Z& DIYO gT1Zr& CIYRgT1Yr&tCIaRgT1Y r&EtCHaRgS1 Yr%EtC4HaRfS1Yq%EtX4HaMf S1Xq%E -X4H9M fSRXq%f-X4G9MfRRXq$f-X3G 9MeRRXp $f-3 G9LeRRWp$f) 3GLeRjWp$u) 3CLeQjWp! u ) 2CL1QjW!u) z2CL1QjW !u) z2C C1QjV !u(z2C7C1QEV!t(z27C1P EV#t( z17C PEV1#t(y17kPEx1#t*y16 kPhx1# *y1D 6kOhx1Z*y D 6kYOhx1Z* D6IYOh T1Z& DIYOgT1Zr&CIYRgT1Y r&tCIaRgT1 Yr&EtCHaRgS1Yr%EtC4HaRf S1Yq%EtX4HaMfS1Xq%E-X4H 9MfSRXq%f-X4 G9MfRRXq $f-X 3G9MeRRXp$f- 3G9LeRRWp$f ) 3GLeRRWp$ f) 3GLeRjWp $u) 3CLeQjW p!u) 2C L1Qj W! u) z2CC1Q jV!u(z2C7C1 QEV!t(z27C 1PEVXq%f-X4 G 9MfRRXq$f-X 3G9MeRRX p$f- 3G9LeRRWp$f )3GLeRjWp$ u) 3CLeQjWp !u) 2CL1QjW !u) z2CC1Qj V!u(z2C7C1Q EV!t(z27C1 P EV#t(z17C PEV1#t( y17 kPEx1#t(y1 7kPEx1#t*y1 6kPhx 1#*y 1D6kOhx1Z* y D6kYOhx1Z *D6IYOhT1Z &DIYOgT1 Z r&CIYRgT 1Yr&tC IaRg T1Yr&EtCHaR g S1Yr%EtC4Ha RfS1Yq% EtX4H aMfS1Xq%E-X4 H9MfSRXq%f-X 4G9MfRRX q$f- X3G9MeRRXp$f -3G9LeRRWp $f) 3G LeRjWp$u) 3CLeQjWp!u) 2 CL1QjW! u) z 2CC1QjV!u(z2C7C1QEV!t (z27C1QEV! t(z27C1PEV#t(z17CPEV 1#t(y 17kPE x1#t*y16kPhx1#*y1D6k Ohx1Z *yD6k YOhx1Z*D6IYOhT1Z!u) z 2CC1 QjV!u( z2C7C1QEV! t(z27C1PEV# t(z17CPEV1 #t(y17kPEx1#t*y16kPh x1#*y 1D6kO hx1Z*yD6kYOhx1Z*D6I YOhT1Z &D IYOgT1Z&DIYOgT1Zr& CIYRg T1Yr& tCIaRgT1Yr&EtCHaRgS1Yr %EtC4H aRfS1Y q%EtX4HaMfS1Xq%E-X4H9MfS RXq%f -X4G9Mf RRXq$f-X3G9MeRRXp$f-3G9 LeRRWp $f) 3G LeRjWp$u) 3CLeQjWp!u) 2CL1 QjW! u) z2CC1 QjV!u(z2C7C1QEV !t(z27C1PEV #t(z17CPEV1#t(y17kP Ex1#t* y16k Phx1#*y1D6kOhx1Z*y1D6 kOhx1 Z*yD 6kYOhx1Z*D6IYOhT1Z& DIYO gQjV! u(z2C7C1QEV! t(z27C1PEV #t(z17CPE V1#t(y17kPEx1#t*y16k Phx1#*y1D6k Ohx1Z*yD6kYOhx1Z*D 6IYOhT1 Z& DIYOgT1Zr& CIYRgT1Yr& tCIaRgT1Yr &EtCHaRgS1Y r %EtC4HaRfS1 Yq%EtX4 HaRfS 1Yq%EtX4HaMf S1Xq%E-X4H9M fSRXq% f-X4G9 MfRRXq$f-X3G9MeRRXp$f-3 G9LeRRW p$f) 3GLeRjWp$u) 3CLeQjWp!u ) 2CL1 QjW! u) z2CC1QjV !u(z2C7C1QEV !t(z2 7C1PE V#t(z17CP EV1#t(y17k PEx1#t*y16kPhx1#*y1D 6kOhx1Z*y D6kYOhx 1Z* D6IYOhT1Z& DIL1QjW ! u) z2CC1QjV !u(z2C7C1QE V !t(z27C1P EV#t(z17C PEV1#t(y17k PEx1#t...
篇二：随机信号分析第五版课后答案
1第一次作业练习一之1、2、3题1个样本的取值概率顺序为17818161⎪≥求1⎧=其他0由12121./18)804.⎧<2系数Aπ=∞dπ2A221其概率密度。⎧<⎪≥3a4a12147892<=12π2111234.1π./11(81.0)144=12711./181和1./18离散随机变量X。求随机变量的数学期望和方差。由0123四个样本组成相当于四元通信中的四个电平四解88)8177151=.7i0137242×10)(]∑1∑=20([=2×(+)×(+)×0+(×]=)=[=(=2−ii2+ixXP xXE8=1][2P2i×−+×−+×−=−=iXExXD.21.2设连续随机变量X的概率分布函数为⎪X⎩取值在0⎨≤−+22.01)](Αsin[0.5xxxxxF51内的概率)15.0(<<xP。解⎪)π2=34.⎩(π∞⎪d⎨<≤−2201)]([cos)()(xxAxxdFx f=∞∫∞20−Axx f得)](Asin[1)]d([cos=−=−∫−xxxA2521.2.021).]11.53.303(3[试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数如果是概率分布函数求sin1)]11([sin1)5.0(F)1(F)15.0(==−π−−π=−=<<xP1⎪⎧<100a⎩2⎪))⎪0<=1](⎨00)≥−=0(−0e1)(2xxxFx⎩()⎨≤10Α2xxxxxF)(()[()>(−>−−−−==aaaauxuaxuuxxxxFFxxx 2解1⎪当01)所以)⎪<⎧≥在A欲使1所以在A同理⎩欲满足1⎧<⎩≥)((⎧=0⎪<时对于1有是单调非减函数()是连续随机变量的概率分布函数。1)d⎨020(⎧=0≥≤=≥−−0e1)(2xxxFxxxx)≤也成立。(成立+)(12xFxF≥)(xFxFxFxFxF求得⎪<=1>)=⎨)≥0⎩0)⎨0≥=−02)((2xxexxdFx fx2⎪0(1⎧<(>0⎨1时对于≥0时)≥0=0)⎩2有是单调非减函数≤(>0d1(⎪<≤10Α0(2xxxxxxF1+使A是连续随机变量的概率分布函数。0)d也必须使A2xxx)≤1(∞=(和))(()12xFxF≥()=2(成立必须=xFxFxFFF1。==)(xxA xxxdFx f∫∞−xx f1。所以⎩⎨==xxxx f3a00对于1不成立。所以)−a0a0⎪其他a(aa))⎧=>不是连续随机变量的概率分布函数。]<(≤)−(−[)(>0⎪2−)⎩>−]a)=(aaxuxuxxF上式可改写为))([(>(⎨)aaxaxuxuxxFxx(12xFxF≥xFx4(0))](())(()[(>>−−−−−=+a=aaxuaxxuuxFxaxuxux 301⎩当a第二次作业练习一之4、5、6、7题2⎪<0⎪a时不满足11⎪≤)0>−(0⎪a0⎪⎨⎪<⎧≤<=aaxxaxxxx≤≤xF所以)(xF不是连续随机变量的概率分布函数。1X⎪其他0∞βα)32)1⎧其他0数。.[⎧α+−2α(2<求的概率密度函1αβ.β ]≤1.1.4444随机变量X在[αβ ]上均匀分布求它的数学期望和方差。解因在上均匀分布1)⎪αβ(−1∞⎩=1-∞⎨≤α−β=22ββ=下(x f∫∫α2+∞dβ2-=∞2ddβd)(]E[-xxxxx fX)(]E[2α2]2β+α===∫∫∞2)xxxx fxXX[E(]X[Ed)(])X[E(]D[α−β=−=−=∫xx fxX1⎩.1.1.1.5555设随机变量的概率密度为⎨X≤=1)0(1YxxfX=5X +1解反函数=hf Y于是有⎩Xh′(⎨((y )⎧其他0y )y )=≤==f X (≤(1h=Y/(6)-5y )1(11)5)≤h//y ≤′156(y )∣=1×1/5=1/5yyfY1∑时随机变量的概率密度。21)⎪.1n⎧−其它1n=.=312时随机变量Y.Y的概率密度。1.6666设随机变量]b ,a[,,,2匀分布且互相独立。若求1均在n上XXX⋅⋅⋅==ni1iXY,解n0⎩i⎪baixabixf,,2,1(⋅⋅⋅=⎪⎪⎨≤=≤ 4n)bda1=(12)1时)(())((d)∞−(=21yfxyyffyf∫XXY∗=1∞1−121xxfyfXXY∫−=1⋅−=axbab1a同理na1望、方差及X2方差σ]]相关矩m第三次作业练习一之9、10、11题b=b.和Y3=2)m−3−1的相关矩。时)(yfY=.1.1.7777设随机变量X的数学期望和方差分别为m和σ求随机变量23−−=XY的数学期解数学期望]−3[X Y[σ[(2−−)]3−=][3=92]−m03[−Y)(m−EDRER3[+=(]σσ][=[X Y+22X Y2=Y−XXEXXEEE−=−−==222XXDX12a证r2⎧=其它0⎩⎪≤π.bπvππ1Yπ.b12.)1c.o9s9(9=9<随机变量和YX分别在[0,a]和[0,π]上均匀分布且互相独立。对于ab<证明xP.X和Y分别在[0,a]和[0,]上均匀分布有⎪⎩⎧≤⎪<⇒⎭)2=⎪⎪≤⎬202)⎪⎨⎪≤)其它0≤(0a和⎨1⎪a=xX f⎪)⎧2(≤Y≤02yf⎪,/,⎩cc(⎨⎫<≤<0ccooss0πcaobsbyybYxyYbbcxxos<oodssx d0πd(b)cos(≤≤<≤=<yybxpybxp∫∫00yyy x fy 5∫∫=2因为r/v0cc.o和Ys相互独立0o)()(πybdx dyy f x fdyX∫∫⋅=2/02s0/2π2πbπ命题得证1aπy da2πybdx dydy∫⋅=0cosyba=1与随机变量1的关系由下式唯一确定⎧+证明2的联合概率密度为1b证做由))1.,⎨,)c,,1Y+2⎩1.Y=YY,a((1.1.10101010已知二维随机变量,21dY(d到)=2随机变量1度为XX的联合概率密),(2121xxfXX21,XX⎩=21112+121=1⎨YcXYdbcYYaX⎧1+2=211XXbXaXY)−2的二维变换,(21112111212121y dy cy by afyyfXXYY+,)+(,=121yyffYY2121xfxJfxXX2121xXX(2121yyYY),(2121yyfYY=J),(2121xxfXXbd∂)bcc∂,ca21ad1b−a=xyxyxyxyJ=∂∂∂2∂∂2∂=2111(d)−,(21112111212121y dy cy by afyyfXXYY++=1求1系数。.系数A 12.X1,.Y1的数学期望3.X1,12Y1的方差41X1,1Y1的相关矩及相关1随机变量X,Y的联合概率密度为,0)sin(),(π≤≤+=y xyxAy xfX Y解 611212)2同理)22s22s2πππ+21π∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫===2+ccπy dππy d+==∞s∞−∞i∞−2AAAπ02n02y d02c02o02s0cossin)sin(),(πyπy xπfπx dπy dπx dyxAyxAdx dyyxdx dX Y22ooπy dππy dy d2ssπy dyxy d11yxdyyxdyy xfxfX Y0Xsincoscossin10(()sin(1∞ss),()(2∫02∫∫∫=ii+nn=x +)==(∞−πxyyxfY+2i22i0=22)422)4ππ=∫∫∫∫∫+−=+=+==02n212002y02121200c212os1cos1sin1)cos(sin1πyπyyyyyy dyydymmYX∫∫−++−=00n2s2incoscos1yyyyyy422202)42)422212协方差11相关系数3342+π∫∫−ππ−=+−==022D0c2πo4πs()()cos(sin1)(][][πXππydydyyyyYDd4yyyyy∫+−++−−=0c2o4s4(2)(22)cos()(π∫+ππ−π+=02s4πi1πn6π()(2ππydyy d02−2)2]1−yyy∫+πππ−ππd2−6++−+=20s4+2sπ8πi4=2iπ2+πn1(622)sin()(21164相关矩−∫ ∫∫ ∫E=+===0000n(),(][ππx dyyxx ydx dyy xx y fX YERX YX Y62σ2−σ[πY]π[C−−==−==X YX YYXERCX YX Y28Xr 7第四次作业练习一之12、13、14、15题10解∞利用傅氏变换ωω1+解∞利用傅氏变换αω1的随机变量的特征函数。∞=eα211n线性组合∑解互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。]∏第五次作业练习二之1、2、3、4、5题.2=e+α.α=ω+=1)d1.(e1≥Φ.=ωt21e).12121212求随机变量的特征函数已知随机变量的概率密度−∞ω(XXxxxfxXα∞−=αu∫−t~xfxjXX)(∫∞−−dxeetuxjxωα)(2αω1πd+αeωej)(jΦ−.∞eαααΦX=1απ−~−))1求他的特征函数。∞=2(α22.11.13131313已知随机变量服从柯西分布)X22(xxfX=Φ∫−xxfxjXXω∞ω)()(∫−dxexxj ω22x22X(12解∞利用傅氏变换ω1ω.+.11.1.1.14141414求概率密度为exXxf−=d2α+)+1=)(X∫−−2xeαxfΦ2xjXXω∞ω~()()(∫∞−−=dxeexjxωx2ω=XΦ.c1X a.Y1的特征函数。a.和c1是常数。5151515已知相互独立的随机变量…i1X1的特征函数求niX2X3XnXX1X2X3…i=i[)]}(∑{exp [)(11===+=nX aiijcijniYijiEeEecX aωωωωφ2量并且0解]t02]st=2[iω02]nω].[[s[.=]i].=cn[.]o]=1[s[=1][c1[]o1σss随机过程t=i]BAt=n[At。求X (c+Xωto=ω)ss的数学期望和自相关函数。[incos)(+)=]其中ω(为常数A 、B 是两个相互独立的高斯变2[BEAE2t2ωBEEBEtAEtBtAAEEtXEωωω+=+=BEBEAE 8)]22))]s11((si222ccin11oons22sssci1i12τonsn2ωscistσ)onit=(ssn−1ssi]=2iin[ωtnn]cσtcs[ooicssnoc[cso(oss)si]]cn[(o]t)s[t(c]t[o[t)ssω,[iω(12nω222B211E1222tA11tE22oω11c+22s=12t]]tt[)Btt][Att[(Bttc]AEtto[Xtts]XEttc[tωo+RXEEωωs=ωω]ωω[ωωt+ωt+ωt=ωt=+tBA BA BEAA+t+ω=ωBEBEAEBEAωωωωωω+++=22XEXDXE2−=τ2证由均方连续的定义0展开左式为)=固有02]]0)2)()]2())(.)(][.()().[()].l)((2i()[2m)(l2=((i2−)(m若随机过程X (∆([=t+[)−)→l)∆在均方意义下连续证明它的数学期望也必然连续。20i]+∆20(ttm)tXt2t(ttt)证得数学期望连续。XEtX t(Xt(Xt(X t[t{XtltiXEt=0+m∆0+−→−∆∆∆+t+−−−∆∆++→t∆t∆+→∆XtXtXEtXttXttXEEtXEX2二阶偏导数1证)1t2012)2t]t也就是]t2布和瑞利分布的随机变量且相互独立。1σ解020]22)t2,t2(∂]t20t102)2}∆2.t∂(t1lt1,1}1)0.t。.∂.3333证明随机过程存在均方导数的充分条件是自相关函数在他的自变量相等时存在2t2212t1=R111}1t(0t(t2011i∆10t),∆)→11Xt]t∆(0∆(∆2t∆1m∆1lt)2t存在。1012l(t∆}1t1t∆1i)∂{tt2→)1(∂(t−1l∂1m)→)→∆2i}t{∆(∆+1m]→(→{→1∆(∆[∆t∆2=)→)1l(∆})→)(∆{[)]()([),(),(i(m[),(tXtXEtXttXEttRtttRttRX−)∆]+(−)∆(+)=(∂)1t([tXttXtXEtXtXtttXE−∆+=]−∆+=(212存在111时112222it在1mt)(){([),(XttXtXEtXttXttXEttR−t∆t+t−−−∆∆++−∆∆++=[∂lim1t2t2=[2XXXXE={lim2XXE22....4444判断随机过程)cos()(ΦtAtX+=ω是否平稳其中ω为常数A 、Φ分别为均匀分π10)cϕ)π]oπc[sϕoc)22so202=s2)πd([(<(]c<)[o=])sΦf0)(2222−>[](=cc]aeaafaσAoo[ss1((}+[]=))+](∫ϕ(cω[oω=sΦ+{t=)Φ+ct=oEΦst(EAEΦ[t)AEEt,XXERω(ω2ω2τωτωτωωτ+++=+++=+ΦtEAEΦtΦtAtt 9ω因此是广义平稳的随机过程。τc2os][1与时间的起点无关且2∞AE=<)]([2tXE2t是宽平稳而不一定是严平稳的。其中t证0))0))τ∞因此是广义平稳的随机过程。))]12tωs]]0((ω<]]c02t为常数A 、i((0ssσ)+so02sB 的nss0ii0]+is22.i数学期望为零方差σ]ii)τnc(+n)0.n相同。[nn(ωso[=cs1.c.o5s5)5(5ω证明由不相关的两个任意分布的随机变量A 、0B 构0成的随机过程ω0c)scωistBAX+=2B0i0nn=o(no+]sc)s+[]o(st)[scit())on](s](ss[[ii]00n0sc00)[=n()+cs(=oistsniEt[cnAEt(ocXEω)soω,)s((]02τ[τc]ωo[τs)ωc(ωocωsoτ[s+02c+0o+0s+0]=0[+0τtωωBA BtωωAtττBtωωAEtωωtττRXEE0B0E2A BAωωωωτ+ω+ω++++++=+t+t+t+t=ttAttBttttttA2020002022τions]c[oBAEEBEAEEs][0ωωτωω+++=ttBEtt22])[(][][XEXDXE+=2XEsoi3isn0n)s2c(i0osn1sic0)no32(ss0sis22ini0ncn1cos0osi2t]可见该随机过程构不成三阶平稳因此不符合严平稳过程的要求。ssnts)icti(notnssstsiictinnotnccstsooctissoωn[csω[(o[ω])s(ωc,c1ωo,o0ωs(stωc3223A B330t0B3t3t2Ao0A0EA2t1ωs0E0+c22t2ωo0ω0+s1t1+[0ω01t2+t0ω03t12t01ω2t[0Bt(tAt02tBt12tAt22tBt13tAE0Bt1tt0ttttRXω3Aω2Eω0ωω0ωω0ωω0ω3A0B0A12ω0ωBABA BA Btωωωωωω+ω+ω+ω=++++=]tstitnt)Es+ins=incossinsincoscoscos[(BA BA B30201002010BEωωωωωω第六次作业练习二之6、7、8、9、10题2本函数发生的概率相等是否满足严平稳或宽平稳的条件解}13)3由于数学期望与时间相关不为常数因此不满足一阶平稳也就不满足严平稳或宽平稳的条件。222....6666有三个样本函数ttx ttxtxsin3)(,cos2)(,2)(3机过程每个样2组成的随1=s=∑=i=+=n=+)(tX3,cos2,2{)}(),(),({)(321tttxtxtxtXP=3==31i21PPE==1sin3cos22()()]([iittP txtX2是常数、时间函数或随机变量。A解2满足什么条件时)2(2t.是各态历经过程...7777已知随机过程)cos()(ΦtAtX+=ωΦ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量A可能X 101在A0Φ]2ω)2考查)在A)2而−+2=只有在A欲使)2解令)Xm)τ又∞)2功率谱密度。其中Φ机过程。解}}τ)考查)为常数或与Φ)t}τ((为常数或与Φ]2+TdTω为常数时满足=(2(m]τ<(2为在[+]ω((不相关的随机变量时满足]2Φ[c2τt不相关的随机变量时满足1T+1t(tcoXR =为各态历经过程的条件X为平稳过程的条件}os]s]))[(]1c22=o2s[{c)ocso(s]({[[)1]2ω(τ)ω(τ[ω)Φ,t(+[t+AEX t+XEt=tRt+XXE++=+=+=τωωττEEAEEAX(T+2ω[T=cTdT+oTtT+s12=l1im)cos(lim)(1Tlim)(tXE0TΦs inAdtΦtAdttXtXTT2τT=T−Φ2t2τ+t.)t(τ=t2π])ττT=T−+=+==∞→∞→∞→∫∫ωω=ω∫∫∞→−τ∞→+TTTTtΦtAdttX tXtX tX})(cos{)cos(lim)()(lim)()(ωωττ∫−∞→TTΦ2c2)是各态历经过程A.(Y)τ)和)22+(c2YtA]cos)22[cos(limωτωo(必为常数。s)A(τtX tX)(τXR。X2)t(τ](.,+coR =2(t)t(t.0+os.tY(Y)Y.]=s).Yt)t(的乘积是平稳的。.内均匀分布的随机变量)+{(8tt(Y[8t=))8==(]8设)(tX和)(tY是相互独立的平稳随机过程他们的乘积是否平稳XZYZXZX0的自相关函数及(=)1EXEXEEZER=)()[t[])X tt(,=Y[(=t)τ+t]τ+(τ=[t)Y]t(X t)Y(t[t)t]+(+[=()()]()([)]()([ZY2XRRREEX+22XEE9t+[=9是与Φ)c9相互独立的随9求用)(tX自相关函数及功率谱密度表示的)cos()()(ΦttXtY+=ωX(ocso(s){])(())(c[o0s0(Φ)t(Φ[t)t]X t(+0)+(+[+)=,τ(ω0EXR0EΦ...
篇三：随机信号分析第五版课后答案
、 随机过程 X(t)=A+cos(t+B)， 其中 A 是均值为 2， 方差为 1 的高斯变量， B 是 （0，2） 上均匀分布的随机变量， 且 A 和 B独立。
求 （1） 证明 X(t)是平稳过程。
（2） X(t)是各态历经过程吗？ 给出理由。
（3） 画出该随机过程的一个样本函数。
（1） （2） 3-1 已知平稳过程( )X t 的功率谱密度为232( )(16)XG， 求： ①该过程的平均功率？ ②取值在 ( 4,4)范围内的平均功率？ 解 与 相互独立 2( )cos211,cos5cos22XE X tE AEtBABRt tEA t 21521( )lim2TTTE XX tX tX t dtAT 是平稳过程 t 4112211222222242"4(1)2 4( )( )444(0)41132(1)242414414(2)121tan13224XXXE XGdRFGFeRGdddarcxx PPPP方法一()方：时域法取值范围为法二-4, 4 内(频域的平均率法功)2d 3-7 如图 3.10 所示， 系统的输入( )X t 为平稳过程，系统的输出为( )( )()Y tX tX tT。
证明： 输出( )Y t的功率谱密度为( )2( )(1cos)YXGGT :( )[ ( ) (E Y t Y t)]{( )()}{()(}2( )()()( )( )( )( )( )2(( )[)( )j T(( ) ()]( )( ))YXXXYXXYYYXXXYYj Tj TREX tX t TX tX tTRRRRE Y t Y tGF RTTeeGRGRGGGG 已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2( )2( )22( )(1 cos)j TXXXeeGGGT 3-9 已知平稳过程至少有一个为零， 功率谱密度分别为 ( )X t 和 ( )Y t 相互独立， 它们的均值216( )16XG 22( )16YG 令新的随机过程 ( )( )( )( )( )( )Z tX tY tV tX tY t ①证明②求③求④求( )X t 和( )Z t 的功率谱密度( )X t 和( )Y t 的互谱密度( )X t 和( )Z t 的互相关函数( )Y t 联合平稳； ( )ZG ？ G( ) ？ ( )XZR ？ XY⑤求 ( )V t 和( )Z t 的互相关函数( ) VZR解: e ( )Y t4124(1)( )( )( )2[( )]( ) 0[( )]0( )2[ ( )]E Y t0( )( ,t t)[( )][ (E Y t)]0( )( )(2) ( )Z t( )( )( )[ ( ) (E Z t Z t)][( )( )][Y t()XXXYXYZX tY tRFGeE X tRE X tRX tRE X tX tY tX tY tRE X t( )XRX t ( )R、都平稳＝与与联合独平立稳4| |221()]( )( )( )0( )( )( )16( )( )( )116(3)( )0( )0(4)( )[( ) ()]( )()()( )( )( )[( )]2(5)(YXXYYXYZXYZXYXYXYXZXXYXXVZY tRRRRRRGGGRGRE X t Z tE X tX tY tRRRFGeR4| |)[ ( ) (E V t Z t)][( )( )][Y t()()]( )( )( )4XYEX tX tY tRRe 3-11 已知可微平稳过程( )X t 的自相关函数为2( )2exp[]XR ， 其导数为( )( )Y tX t 。
求互谱密度( ) 和功率谱密度XYG( )YG ？ Ⅰ .平稳过程 维纳－辛钦定理 1( )FXXFGR Ⅱ .2-17 已知平稳过程( )X t 的均方可导，( )( )Y tX t 。
证明( ), ( )X t Y t 的互相关函数和 ( )Y t 的自相关函数分别为 Ⅲ.傅立叶变换的微分性质 222222222222227928exp2 exp24:( )[( )][2]24( )( )( )( )24( )( )( )( )2)2(XXXYXXYXYXYXteeetPGF RFeRjjRGGjeRRGGe 高斯脉冲表第解利用傅立叶变换的＝个微分特性22( )( )( )( )XXXYYdRd RRRdd 3-17 已知平稳过程( )X t 的物理功率谱密度为( )4XF ， ①求( )X t 的功率谱密度( ) 和自相关函数XG( ) ？ 画出XR( ),( ),( ) 的图形。
XXXFGR②判断过程( )X t是白噪声还是色噪声？ 给出理由 (12 ( )( )2,)2( )2 ( )[( )]( )( )0( )tXXXXXXGFRE X tXGRFU 物理功率谱密度 定义式，是白噪声。
白噪声的定义 若平稳随机过程的均值为零， 功率谱密度在整个频率轴 (1( )2,) 上均匀分布， 满足 错误！ 未找到引用源。
其中0N为正实常数， 则称此过程为白噪声过程， 简称白噪声。
0NGN
篇四：随机信号分析第五版课后答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.11.11.11.1离散随机变量X由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。解：875.0888421∑i1)848281∑=i713210)(][==×+×+×+×====1)88111ii4xXP xXE873(2()1()0(])[(][×−+×−+×−+×−=−=ii7171722222PXExXD4109.16471==1.21.21.21.2设连续随机变量X的概率分布函数为⎧<πΑsin[0.5)(⎪⎩≥21求（1）系数A；（2）X取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<。⎪⎨<≤−+=201)](200xxxxxFxP解：⎪⎩其他0∞d⎪⎨==22)(d⎧<≤−201)]([cos)(dππxxAxxFx f由1)(=∫21)](222∫∞−1A=∞−∞xx f得2A0πAsin[1)]d([cos=−=−ππxxxA235.0422221.1.1.3333试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。⎧≥−=002)]15.0([sin)]11([sin)5.0(F)1(F)15.0(==−−−=−=<<11ππxP1.（1）⎪⎩<⎧<≤=11⎪⎨)(−20e1xxxFx（2）⎪⎩≥⎪⎨10Α)(<002xxxxxF（3）0)]()([)(>−−=aauua−−=aauaaxxxxF（4）0)()()(>−uxxaxxxF 2解：（1）⎪⎩<00当0≥时，对于≥，有)()(≥，)(是单调非减函数；1)(0≤≤成立；)()(=也成立。所以，)(是连续随机变量的概率分布函数。⎪⎨=)(⎧≥−0e1−2xxxFxx1212xxxFxFxFxFxFxF+xF求得，⎪⎩<00⎪⎨==2)(d⎧≥0)(ed−21xxxxFx fx（2）⎪⎩≥11在A>0时，对于2≥，有)()(≥，)(是单调非减函数；欲使1)(0≤≤和)()(=成立，必须使A=1。所以，在A=1时，)(是连续随机变量的概率分布函数。⎧<00d∞d，也必须使A=1。⎪⎨<≤=10Α)(⎧<002xxxxxF112+xxxFxFxFxFxFxFxF同理，⎩⎨==)(≥>012)(dxxA xxxFx f欲满足1)(=∫⎧<00∞−≥>==)(xx f所以，⎩⎨012xxxx f（3）0)]()([)(>−−=aauua⎧<≤−−=aa其他xxxxF上式可改写为00⎪⎩对于12a>>，)()(12≥不成立。所以，)(不是连续随机变量的概率分布函数。0)]()([)(>⎨⎪aauuxxxxxFxxxFxFxF（4）0)()()(>−−=aauaa−auxxxxxF0)()]()([>−−−+=aauauuaxxxx 300>⎪≤−aa当a<时，不满足1)(0≤≤，所以)(不是连续随机变量的概率分布函数。第二次作业：练习一之4、5、6、7题1⎪⎩2⎪1⎪⎪⎨<≤=aaa00⎪<⎧xxxxxxxFxF1.1.1.1.4444随机变量X在[α，β ]上均匀分布，求它的数学期望和方差。解：因X在[α，β ]上均匀分布⎧β≤≤αα−β=其他0β∞β+α=α−β2-222β+β+α=α−β∫∫∞∞⎪⎩⎪⎨)(下1x f∫∫α∞β∞==dd)(]E[xxxxx fX)2(3-α1dd)(]E[==22xxxx fxX2222)(12∞-1])X[E(]X[Ed)(])X[E(]D[α−β=−=−=∫xx fxX1.1.1.1.5555设随机变量的概率密度为⎩其他0数。X⎨=)(，求Y=5X +1的概率密度函⎧<≤101xxfX解：反函数=h(y )=(Y-1)/5h′(y )=1/51≤y ≤6f Y(y )=f X (h(y ))｜h′(y )∣=1×1/5=1/5⎧≤≤=其他0X于是有⎩⎨)(615/1Yyyf1.1.1.1.6666设随机变量]b ,a[,,,21在n⋅⋅⋅上均匀分布，且互相独立。若∑（1）n=2时，随机变量Y的概率密度。（2）n=3时，随机变量Y的概率密度。XXX=1i=iXY,求n解：niii,,2,10⎪⎩baab)(⋅⋅⋅=⎪其它xxf1⎪⎨=⎪⎧≤≤− 4n=2时，)()()(Y∗=∞−=21yfyfyfXX11121Y∞−b11)()()(d∫xxyfxfyfXX∫−−abab⋅=ad1xab−=1同理，n=3时，)(ab−yfY=11.1.1.1.7777设随机变量X的数学期望和方差分别为m和σ，求随机变量23−−=Y的数学期望、方差及X和Y的相关矩。X解：数学期望：23][−−=mY方差：σ=−σ−=90)3(][Y]23[)]23([][X YX Y−−=−−==22])[(][][m+σ=+=相关矩：mmX Y233−−−=σ第三次作业：练习一之9、10、11题E2D2XXEXXEER2XEXDXER21.1.1.1.9999随机变量和Y分别在[0,a]和[0,2bYbπXπ]上均匀分布，且互相独立。对于ab<，证明：axP2)cos(=<证：rv.和Y分别在[0,a]和[0,2Xπ]上均匀分布有⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎨=其它0⎪其它0⎪)(和⎨=)(Y⎧≤≤0aa⎪21⎪πxX f⎧≤≤02πyf⎪⎩2⎪⎨≤≤⎭<≤cosabb⎧<≤⇒⎬0⎫<cosπYbcos<cos0bYbyyxyxx)20,cos0()cos(≤≤<≤=<bbπyyxpyxp∫∫=002/cosπb),(dx ddyyy x fy 5∫∫=002/cosπb)()(dx dd因为rv.和Y相互独立yyyf x fyX∫∫πa⋅=002/cosπb21dx ddyyy∫πa⋅=02/πcosy d2byaπb2=命题得证1.1.1.1.10101010已知二维随机变量（,）的联合概率密度为),(，随机变量（,21212121）XXxxfXXXX与随机变量（1,YY）的关系由下式唯一确定+=111YdYc⎩+=dcY2⎩+=⎨112⎨⎧YbYa⎧+=1baY212122121XXXXXX证明：（21,YY）的联合概率密度为),(),(21112121y dy cy by abcad−1YY++=211121ffyyXX证：做由),(21YY到),(的二维变换212121yyfxxfXX),(21=),(21YY2121xxfXXJyyf),(21YY=),(212121yyfJ1xxfXXbcaddc∂∂21ba−==∂∂22xyxyxyxyJ∂∂=∂∂1121),(),(21112121y dy cy by abcad−1YY++=211121ffyyXX1.1.1.1.11111111随机变量X,Y的联合概率密度为2求：（1）系数A ；（2）X,Y的数学期望；（3）X,Y的方差；（4）X,Y的相关矩及相关系数。,0)sin(),(≤≤+=X Yπy xyxAy xf解： 6（1）∫∫∫∫∫∫∫∫∞−∞−12==1=+=+=0000∞∞222sincoscossin)sin(),(y dx dy dx ddx ddx dX Y222y xf00ππππππyxAyxAyyxAyA2A（2）y dy dddX Ysincos22200∫∫∫∫∞−1x +=yxyxyyxyy xfxfX1cossin)sin(),()(+=+==11222∞0πππ)cos(sin21)(Y+=x同理)cos(sin2πyyxf∫∫∫∫∫022222πππy dy d+−=+=+==0022222sincoscossin)cos(siny dy dy dy ddmmY0011111ππππyyyyyyyyyyX∫∫202202−++−=02222sinsincoscos01111πyyyyyy4ππ=（3）∫∫044224+−−=+−==)cos()()cos(sin)(][][ddY222221πππ0πyyyyyyDXDd+−++−−=04420442yyyyy∫22)cos()(22)cos()(22ππππππ∫4416+−+=022)sin()(2dππππyyy d∫404416yyy+−+−+=)sin(22)sin()(222πππππ0π2216ππ2−+=ππ（4）相关矩∫∫∫∫22ππYCX YX Y−=+===000022221)sin(),(][dx ddx dX YX YX Y1πππyyxx yyy xx y fER协方差11621682−+ππσσY][][−−=−=2EXER相关系数3282X YX Y+−−==rππCX 7第四次作业：练习一之12、13、14、15题1.1.1.1.12121212求随机变量的特征函数，已知随机变量的概率密度02)(≥=e∞=deΦω)()(∫1~)(XX−αxxfxX解：∫∞−∞−xxfxjXXω−deetu)(2∞ωα=xxjx利用傅氏变换：ωα+2)(αt−jetuωα−1)(+απ∞=deΦω)()(∫+απ2α+ωαω=eΦ)(ωΦ=jX1.1.1.1.13131313已知随机变量服从柯西分布=，求他的特征函数。X22xxfXα解：∫2∞−∞−xxfxjXXωde22∞j ω=xxxα21利用傅氏变换：α−ωα−22e~xX1.1.1.1.14141414求概率密度为e=2∞=deΦω)()(∫2α+1)(ω+xXxf−征函数。1)(的随机变量的特X解：∫2∞−∞−xxfxjXXω−dee∞ω=xxjx1利用傅氏变换：eωαxα−22~21ω=XΦ1.1.1.1.15151515已知相互独立的随机变量1，2，，…，的特征函数，求，，，…ncX aY1的特征函数。和是常数。XXX3n123，XXXXXn合∑解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。线性组+=i=iiaic][)]}({exp [)(1∏∑第五次作业：练习二之1、2、3、4、5题1==ii=+=iiYeecX aωωφnX aciiωωjjnEjE2222....1111随机过程tttωωsincos)(+=，其中ω为常数，A 、B 是两个相互独立的高斯变量，并且0][][==，][][σ==。求X (t)的数学期望和自相关函数。解：]sin[]cos[]sincos[)]([tttttωωωω+=+=ttωωsin][cos][+=0=（0][][==）BAXBEAE222BEAEBEAEBAAEEXEBEBEAE 8)]sincos)(sincos[()]()([),(112121ttttttttωωωω++==]sinsincossinsincoscoscos[12121ttttttttωωωωωωωω+++=2sinsin][cossin][][sincos][][coscos][ttttttttωωωωωωωω+++=221sinsin][coscos][ttttωωωω+=（])[(][][+=）)(cos12tt−=ωσ)(cosτωσ=（12tt−=τ）22XXERX22AE2212121222BABAE21A B2BA B21BEAEAEBEBEAE212BEAEXEXDXE22222....2222若随机过程X (t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。证：由均方连续的定义0])()([lim0=−∆+→∆tttt，2ttX tttX ttttt+∆+−∆+−∆+→∆=0))]()()((([))]()()((([{lim0=−∆+−−∆+∆+→∆tttttttttt2XXE展开左式为：)]()()()()()([lim02XEXXXXXXEXXXE固有0)]([)]([lim0=−∆+→∆tttt，证得数学期望连续。XEXE2222....3333证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在2),(tttt∂∂证：)]()([)]()([limlim1ttt∆∆∂)}]()(){([limlim1tt∆∆2)}]()(){([)}]()(){([lim21tttt∆∆∂∂)}()()}{()({[lim21tt∆∆)()([{lim0t∆二阶偏导数121221=tt∂。R111212112121121),(),(),(tttttttttttt−∆+==→∆→∆001ttXXEXXERRRX−∆+∂11111221211)]()()()([ttttttttt−∆+==→∆→∆001ttXXXEXXXXE−∆+2111121112221),(ttttttttttt−∆+−−∆+∆+=→∆→∆0,021XXXEXXXERtt∂]0,021tt=→∆→∆在tt=时存在，111222tttttt−∆+−∆+XXXXE21也就是]}t→∆存在。2ttt−∆+XXE2222....4444判断随机过程)cos()(Φtt+=ω是否平稳？其中ω为常数，A 、Φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。AXπϕπ2σ2πϕ20)(<<=Φ；0)(>=aea1af2222−σfaA解：020∫π0)][cos(][)]cos([)]([=+=+=ΦtΦttωω1}])(cos{)cos([),(ωτωτωωτ+++=+++=+ΦtΦtΦttt1)cos()][cos(=+=+ϕωωdΦtΦtEEAEAEXE]cos)22[cos(][222ωτRXEAEAE 9ωτcos][2因此，是广义平稳的随机过程。12=与时间的起点无关，且∞<)]([tAE2XE2222....5555证明由不相关的两个任意分布的随机变量A 、B 构成的随机过程ttt00sincos)(ωω+=t0ω为常数，A 、B 的数学期望为零，方差σ相同。0sin][cos][)]([00=+=tttωω)](sin)(cos)(sincos[(),(000τωτωωωτ++++=+tttttt)](sinsin)(cossin)(sincos)(coscos[00000τωωτωωτωωτωω+++++++=tttttttt2)(cossin][][)(sincos][][)(coscos][τωωτωωτωω+++++=ttttttBAX是宽平稳而不一定是严平稳的。其中2证：BEAEXE0ERXBABA000A BAE22BA B200ωω++tt)(sinsin][)(coscos][00τωωτωω+++=tttt（])[(][][+=）τωσ0cos=∞<)]([t因此，是广义平稳的随机过程。)]sincos)(sincos)(sincos[(),,(201010321tttttttttωωωωωω+++=)]sincos)(sinsincossinsincoscoscos[(201020102010ttttttttttωωωωωωωωωω++++=]cos)sinsincossinsincoscoscos[(201020102010tttttttttωωωωωωωωω+++=2000000E)(sinsin][τ2BEBEAEBEAEA0022BEAE2XEXDXE22XE303020AERXBABAB30302010A BAE22BABA B]sin)sinsincossinsincoscoscos[(1020102010tttttttttωωωωωωωωω++++30201020A BBAE3222302010BAAE2223BA BA BBA]sinsinsin[]coscoscos[10302010ttttttωωωωωω+=可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。3020AE33BE第六次作业：练习二之6、7、8、9、10题2222....6666有三个样本函数ttx tttsin3)(,cos2)(,2)(21===组成的随机过程)(t，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？解：}sin3,cos2,2{)}(),(),({)(321tttttt==1321===xx3XxxxX33)sin3cos22(3iPPP∑由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。=1++==)()]([iittP tt1xXE2222....7777已知随机过程)cos()(Φtt+=ω，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，)(t是各态历经过程？解：AXX 10（1）考查)(t为平稳过程的条件在A为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足0)]([t=τωωττX}])(cos{)cos([)]()([),(ΦtΦttX ttt+++=+=+12ωτωτωΦt+++=2AEXERXEX]}[cos)]22[cos(]{[212=EEAEωτcos][2)(τAEXR =（2）考查)(t为各态历经过程的条件在A为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足1lim)(2TTTTT−−∫∫ω1lim)()(2X)]([coslim)cos(21lim)(t0TΦs indtΦtdtttTTT===+==∞→∞→∞→ωωXEAAXXTT而∫∫TT2T1limωτωτω−−TT2∞→∞→+++=+=+TTdtΦtΦtdttX ttX t})(cos{)cos(lim)()(τωωττTT2AXX1∫T22−T2∞→+++=TdtΦt]cos)22[cos(Aωτcos2A为常数时，满足=+)()(τtX t)(τ。欲使)(t是各态历经过程，A必为常数。A=只有在XXRX2222....8888设)(t和)(tY是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？解：令)()()(tYtt=mtYttYtt===)]([)]([)]()([)]([)]()()()([),(τττtYtX tYttt++=+XXZYZEXmEXEXE)()()()]()([)]()([τττττtYtYtX t==++=又∞<=)]()([)]([tYtt)(t和)(tY的乘积是平稳的。求用)(t自相关函数及功率谱密度表示的)cos()()(ΦtttY+=ω的自相关函数及功率谱密度。其中，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，)(t是与Φ相互独立的随机过程。解：}])(cos{)()cos()([)]()([),(0ΦttΦtttYtYttY++++=+=+τωτωττ}])(cos{)[cos()]()([00ΦtΦttX t++++=τωωτ1=ZYXZRRREXEXER222XEZEX2222....9999X0XX0ERXXEEXEτωτ0cos)(2)(τYR =XR 11)]()([410ωωωω−++=SS])[(4∫1ττ+=∞−])[(4∫1ττ+=∞−cos)(2∫∫∞deee1)()(ττωτττω==∞−∞−0)()(00τωωτωω−+−dee0YYdedeS00ωττωτω−−ωτωτ−−∞∞∞XXjjXjjjXjXjRRRR2222....10101010平稳高斯过程)(t的自相关函数为τ=e2度。1lim)(lim)(===∞=∞→∞→τττemXτ−和二维概率密RX1)(，求)(t的一维X解：020=1)()0(=∞−=σ2−τRRXXXXm2（1）)(t的一维概率密度：2XXXR...
篇五：随机信号分析第五版课后答案
2.1 解： （1） （2） 所以是确定的。
A-xA-x0.5tp(x,）（3） 2.2 设有下列离散随机过程： X（t） =C C 为随机变量， 可能取值为 1， 2， 3， 其出现的概率分别为 0.6， 0.3， 0.1 （1） 是确定性随机过程？ （2 ） 求任意时刻 X(t)的一维概密。
解： （1） 是 1 （2） X(t)2,p(x,t)0.6 (1)0.3 (2)0. (3)3xxx 2.3 已知随机过程 X(t)为 00), t(Xcos) t (X是标准高斯随机变量是常熟 X,， 求X（t） 的一维概率密度。
解： )2x(exp21p(x)2 xcos( t)F(x,t)P{X(t)x}P{Xcos( t)x}xxP{X}p( )dt t()cos( t)cos( t) 发22xx1cos( t)dx( , )p x t( , )()exp()cos( t)2cos ( t)cos( t) 2dxF x tp 202x1xexp()2cos2t 2cosx1-exp()22t AT3T2T-AAorAAAkk0.5,;nTth) t (Xk AxAxAxA-xtp(x,2121） 2.4 解： x1 x2 X： （t=1/2） 0 1 Y (t=1) 1 2 1f(x,1/2)(x)(x 1)2 1F(x,1/2)(x)(x 1)2UU 1f(x,1)(x-1)(x2)2 12UF(x,1)(x-1)(x2)U 1F(x1,x2,1/2,1)(x) (x-1)U(x-1) (x2)2UUU 12UF(x1,x2,1/2,1)(x2+1) (x1-1)U(x1) (x2 2)UU 2.5 解： 12112112221323113[( )( )]( ,x t) ( ,x t)( ,x t) ( ,x t)( ,x t) ( ,x t)8438E X t X t 111121311[( )]( ,x t)( ,x t)( ,x t)81418E X t 22122233[( )]( ,x t)( ,x t)( ,x t)848E X t 121121122213231,( ,x t)( ,x t)81( ,x t)( ,x t)4( ,x t)( ,x t)Xpx xxxxxxx 2.6 解： X1 x2 x3 T1=2 3 4 6 T1=6 2 5 76 5 7 2 3 1/3 0 0 4 0 1/3 0 6 0 0 1/3 xi(t=2)p(xi,yi)yi(t=6) E[X(2)]=313) 643 (31 E[X(6)]=314) 752 (31 E[X(2) X(6)]=155(3x54x76x2)33 ) 6x () 4x () 3x (31)x,2( f ) 6x (U) 4x (U) 3x (U31)x,2( F ) 7x () 5x () 2x (31)x,6( f 1F(x,6)U(x2)U(x 5)U(x7)3 121f(x ,x ,2,6)(x5) (x 3)(x7) (x4)(x6) (x2)3 121(x ,x ,2,6)(x 5) (x 3)U(x7) (xU4)(x6) (xU2)3FUUU 2． 7 随机过程 X(t)由三条样本函数构成，cost) 3, t (X sint;) 2, t (X; 1) 1, t (X ,并以等概率出现， 求 E（X(t)） ,和 R(t1,t2) 解： 12121212121E(X(t))( )(1sincos ) ;t31( , )R t t( )( )(1 sin sincos cos )31(131(13cos())cos )m ttE X t X ttttttt 2.8 已知随机过程 X(t) 的均值为 m(t), 协方差函数为 C(t1,t2), 又知 f(t)是确定的时间函数，试求随机过程 Y(t)=X(t)+f(t)的均值及协方差。
解： )()()()(X)(YEtmtftftEt ,Ct tY111222112212CY( )( )( )( )f t( )( )( )f t( )( )( )( )XtE Y tm tY tm tEX tm tX tm t 2.9 随机过程 X(t)为：) t0(Acos) t0(Acos) t (X ， 其中，0 为常数， A,B 为两个相互独立的高斯变量， 而且， E[A]=E[B]=0, 222]B[ E]A[ E, 试求 X(t)的均值与自相关函数 解： 0) t0(E[B]sin) t0(E[A]cos)]t(Bcos) t0(E[Acos)]t (E[X0 )]t(t[cos)]t(t[cos5E. 0)]t(t[cos)]t(t[cos5 . 0)t(t2E[AB]sin)t(sin)t(]sinE[B)t(cos)t(]cosE[A)]t(Bsin)t([Acos)]t(Bsin)t([AcosE)t , t (R2102102210210221020102201022020201021 201220cos[(tt )]cos 2.10 过程 X(t)为：)t(acos) t (X0 式中 a,0 为常数，)2 , 0 (~上均匀分布，试求 X(t)的均值、 方差与自相关函数。
解： 021)t(cos)]t(E[acos)]t (E[X0200da 2120 1t0 2t201201220R(t ,t )E a cos()cos()0.5acos(tt2 ) cos(tt )cos()2a 2221)t(cos)]t(cosE[a)]t (E[X22022020222aada 2.11 随机过程 X(t)为：)t(Acos) t (X0 式中0 为常数，)2 , 0 (~上均匀分布，1a0, 1) a ( p， 两个 r.v.独立， 试求 X(t)的均值与自相关函数。
解： 0x021)]t(E[A]E[cos)]t(E[Acos)]t (E[X00 2211413E[A ][ ]E[A]+12D A 2120 1t0 2t20120120120R(t ,t )E A cos()cos()E[A ]E cos(tt2 ) cos(tt )10.5cos(31cos(6tt ))
篇六：随机信号分析第五版课后答案
随机信号分析 第一章 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 设随机试验 X 的分布律为 求 X 的概率密度和分布函数， 并给出图形。
解：( )f x()()())0.210.520.33iiipxxxxxδ（δδδ=−=−+−+− ( )()()())0.210.520.33iiiF xp u x（xu xu xu x=−=−+−+− 9. 10. 设随机变量 X 的概率密度函数为( )f xxae−=，求:(1)系数a； （2） 其分布函数。
解： （1） 由( )f x dx1∞−∞= ()00( )f x dx2xxxaedxae dxe dxa∞∞∞−−−∞−∞−∞==+= 所以1 2a = （2）( )1( )2xxtF xf t dte dt−−∞−∞== 所以 X 的分布函数为 ( )1,0211,02xxe xF xex−<=−≥ 11. 12. 13. 若随机变量 X 与Y 的联合分布律为 求： （1） X 与Y 的联合分布函数与密度函数； （2） X 与Y的边缘分布律； （3） ZXY=的分布律； （4） X 与Y 的相关系数。
解： （1） ()()()()−()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ijijijF x yp u xx yyu x yu x yu x yu xyu xyu xy=−−=+++−+−+++−− ()()()(δ)−()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ijδijijf x ypxx yyx yx yx yxyxyxyδδδδδ=−−=+++−+−+++−− （2） X 的分布律为（iijjPP⋅=） (())00.070.180.150.4010.080.32 0.20+0.60P XP X==++===+= Y 的分布律为 ((()=))10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P YP YP Y= −=+==+===+= （3） ZXY=的分布律为 (()=()())()()=((=)())()111,10.080001,00.40 0.32+0.72111,10.20P ZP XYP XYP ZP XYP XP XYP ZP XYP XY= −== −=== −=====+========= （4） 因为 (( ))()0 0.40 1 0.60= ×0.6010.150 0.50 1 0.35+ ×0.20E XE Y+ ×== −×+ ×= ()() 10.080 0.72 1 0.20+ ×0.12E XY = −×+ ×= 则 (=)()() ( )ov,0.12 0.60 0.20−0CX YE XYE X E Y=−×= X 与Y 的相关系数0XYρ=， 可见它们无关。
14. 15. 设 随 机 变 量()~0,1XN，()~0,1YN且 相 互 独 立 ， UXYVXY=+=−。
（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UVfu v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解： （1） 随机变量(),X Y 的联合概率密度为 ()()22221π,,,2xyXYfx yex yR+−=∈ 由反函数 2−2uvxuvy+==， 1112121222J == −−， ()()()22241π,,,,4uvUVfXYu vfx yJeu vR+−=⋅=∈ 由于, （3） 22224441π1142π22π2uvuveee+−−− × =⋅⋅()( )u f v( )()2,,UVfUVu vfu vR=∈ 所以随机变量U 与V相互独立。
16. 17. 18. 19. 20. 已 知对随机变量 X 与 Y ， 有1EX = ，3EY =，()4D X =，( )16D Y =，0.5XYρ=， 又设 D U ，3UXY=+，2VXY=−，试 求 EU ，EV ，( )( )D V 和( , )Cov U V 。
（22( )()D UEUEU=−） 解： 首先， 22()()5EXD XEX=+=， 22( )()25EYD YEY=+=。
又因为 ()(, )() ( )7XYE XYCov X YEXEYD X D YEXEYρ=+×=+×= 于是 (3)36EUEXYEXEY=+=+= (2 )Y25EVE XEXEY=−=−= − (()2222222( )()3()(96))76D UEUEUEXYEUEXXYYEU=−=+−=++−= ()2222222( )()2()(44)()52D VEVEVE XYEVE XXYYEV=−=−−=−+−= []22()(3)(2 )Y(352)70E UVEXY XEXXYY=+−=−−= − ( , )()40Cov U VE UVEU EV×=−= − 21. 22. 23. 已知随机变量 X 服从[0, ] a 上的均匀分布。
随机变量Y 服从[ , ]X a 上的均匀分布， 试求 （1） (), (0)E Y XXa≤≤； （2） EY 解： （1） 对[0, ]xa∈有， ()2aXE Y X+= （2） /23( (E E Y X))224aXaaEYEa++==== 24. 25. 设太空梭飞行中， 宇宙粒子进入其仪器舱的数目 N服从（参数为 λ ） 泊松分布。
进舱后每个粒子造成损坏的概率为 p， 彼此独立。
求： 造成损坏的粒子平均数目。
解： 每个粒子是否造成损坏用1,i X=没有造成损害,i X表示 1,2,,0iN=造成损坏 造成损坏的粒子数 1NiiYX==nE ， 于是 ()11( |)(|)|iiniiE Y NnXNnE XNn======= 可合理地认为N和i X是独立的， 于是 nE X=()1( |)iiE Y Nnnp=== ()()( )( )( |)E YE E Y NE NppE Npλ==== 27． 若随机变量 X 的概率特性如下， 求其相应的特征函数： （1） X 为常数 c， 即 {}1P Xc== ； （2） 参数为 2 的泊松分布； （3）（－1， 1） 伯努利分布： ( )f x0.4 (δ1)0.6 (δ1)xx=−++ （4） 指数分布：303( )f x,0xx其他 e−≥=解： （1）( )jvXjvcjvcXvE eE eeφ===， 如果 c=0， 则( ) 1Xvφ= 。
（2） {}()()0001( )v!!jvjvjvXjvkXkkjvkjvkkkeeE ee P X keeeekke eeλ−λ−λλ λ−φλλ∞=∞∞==−======= （3）() 1−1( )0.40.6 0.4=0.6jvjvXjvjvjvXvE eeeeeφ−==×+×+ （4）3(3)003( )333jvXjvxxjvxXvE eee dxedxjvφ+∞+∞−−==×==− 28. 随机变量123,,X X X彼此独立； 且特征函 数分别为123( ), ( ), ( )vvφvφφ， 求下列随机变量的特征函数： （1）12XXX=+； （2）123XXXX=++； 3X （3）1232XXX=++； 10+ （4）12324XXXX=++； 解： （1）12XXX=+ 12( )( ) ( )vφjvXXvE eXvφφ== （2）123XXX=++ 同（1），123( )( ) ( ) ( )vvφXvvφφ=φ （3）12323XXXX=++ 123( )( ) (2 ) (3 )vvφXvvφφ=φ （4）1232410XXXX=+++ 10φ123( )(2 ) ( ) (4 )vvφjvXvevφφ= 29. 随机变量 X 具有下列特征函数， 求其概率密度函数、均值、 均方值与方差。
（1）2424( )v0.20.30.20.20.1j vj vj vj veeeeφ−−=++++； （2）( )v0.30.7jvjveeφ−=+； （3）( )v4/(4)jvφ=−； （4）( )v(sin5 ) /(5 )vvφ=； 解： （1）1( )vikjv xiip eφ== ( )()1kiiif xpxxδ==−2j v 244( )v0.20.30.20.20.1j vj vj veeeeφ−−=++++ ( )f x( )xx(δ)()()()0.20.320.240.220.14xxxδδδδ=+−+−++++ (2 0.3= ×)()()(0)/4 0.2+ ×20.240.10.6E Xjφ′=+ −×+ −×= (2) (0.3)()()222222(0)40.220.240.16.8E Xj φ′′= −=×+×+ −×+ −×= ()()()226.80.366.44Var XE XEX=−=−= （2）() 1−1⋅( )v0.30.7jvjveeφ⋅=+ ( )f x()()0.310.71xxδδ=−++ ()()(0) /1 0.3= ×10.70.4E Xjφ′=+ −×= − () ()()2222(0)10.310.71E Xj φ′′= −=×+ −×= ()()()221 0.16= −0.84Var XE XEX=−= （3）( )v4/(4)jvφ=− (φ −)4/(4)vjv=+ 利用傅里叶变换公式， 可知这是指数分布， ( )f x44( )u xxe−= ( )v4/(4)jvφ=− ( )k()(0)kkE Xj φ = − ( )E X201(0)/′4(4)4vjjvφ−===−= ()2301(0)′′8(4)8vE Xjvφ−== −=−= ()( )X22111( )81616Var XE XE=−=−=。
（4）( )(ωτωτ)sin/2( )x t2/2p tτsaωτττ=⇔= sin51sin10 /2( )v10()51010 /2vvvvvφφ==××=− ， 利用傅里叶变换公式， 可知这是均匀分布， ( )f x1, 5100,其他5x− <<= ( )E X =0, ()21025123Var X ==, ()()()22253E XVar XEX=+=。
30. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。
解： 由于 ( )f x 是宽度为 ba− ， 高度为1−ba， 中心在2ab+ 处的矩形函数。
即()1−( )f x2b a−abpxba+ =−其傅立叶变换为 []() 2sin()/21−( )()()/2jv a bv baF vbaebav ba−+)−=×−×− (( )XvF vφ−= [][]() 2sin() 2( )v()() 2()jvbjvajv a bXv baeeFvev bajv baφ+−−=−==−− 31. 32. 33. 设有高斯随机变量2~( ,)XN μ σ， 试利用随机变量的矩发生特性（μ=( )k()(0)kkE Xj φ = −） 证明： (1) EX (2) 222EXσ=μ+ (3) 3233EXμσμ=+ 解： 特征函数为22( )exp(2)Xvj vμvφσ−= 由矩发生性质， 2 2v220()φ(0)()()eX′j vμvEXjjjμvσ−σ−μ== −= −= 2 2v2 2v22φ222222022()(0)()() eeX′′j vμj vμvEXjjjμvσ−σ−σ−σ−σ=μ== −= −+2 2v2 2v33φ3232222023()(0)()() e3σ()e3X′′′j vμj vμvEXjjjμvjμvσ−σ−σ−σ−μσμ== −+= −−=
篇七：随机信号分析第五版课后答案
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5.8 解：由题可知，要求系统输出过程的均值： 设 设X(t) 是有界的平稳过程，其均值为m m X X ，则 ) 3 . 2 . 5 ( ) ()] ( [ ) () ( ) ( )] ( [ d h md t X E hd t X h E t Y EX显然 ， 是与时间无关的常数 。
d h m t Y E mX Y) ( )] ( [5.2.1.2（1）系统输出的均值 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
2()XR a be 2 2lim ()X XR m a Xm a 首先计算系统输入过程均值 已知有关系式： 0[ ( )] ( )( )XYE Y t m h da e dam t 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
系统所示的传函为： 1() () , ()1tRCjRCht t e HRC jRC 为求得输出的自相关函数，分别从时域和频域可得两种方法。
2( ) ( ) ( )* ( )( ) ( ) ( )Y XY XR R h hG H G 5.11 要求的是输出的自相关函数 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
5.11 从时域角度 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (2 1 2 1 2 1 Y X YR d d h h R t t R ) ( ) ( ) ( ) ( h h R RX Y 若随机输入过程 X(t) 是宽平稳的，那么线性时不变系统的输出过程 Y(t) 也是宽平稳的随机过程。实际上，对于严平稳随机过程结论同样也成立。若输入是各态经历过程，输出也将是各态经历过程。
5.2.1.2（2）系统输出的自相关函数 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
5.2.2.1．系统输出的功率谱密度 若输入随机过程X(t) 为平稳过程 ， 则输出的自相关函数为： ) ( * ) ( * ) ( ) ( h h R RX Y 利用傅立叶变换，可得输出的功率谱密度 式中H(ω) 是系统的传输函数，其模（绝对值）的平方∣ ∣H(ω)∣ ∣ 2 称之为系统的功率传输函数。
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 X X YG H G H H G 5.11 从频域角度 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
5.11 解：先求出输入电压的自相关函数 0 00 0 0() [()( )][( cos(2 ))( cos(2( ) )]11cos2 {( ) ( )}32XR EXtXtEX t X t 记忆cos的傅里叶逆变换结果 - + +() ( )FTX XR G 所以输入的功率谱密度： 2() () [( 2) ( 2)]3 2XG 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
(t) 11 2 ( )cos 0 t ( 0) ( 0)2 sin(t / 2)t / 2 rect()e a 2aa2 2e a cos 0 aa2 ( 0)2aa2 ( 0)21 , 10,else sin2(2)(2)2 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
从计算复杂度考虑，我们从频域的角度来计算输出的自相关函数 22 2 22 2 2() () ()2[ () ( 2) ( 2)]1 3 2 2Y XG H GRCRC 22222214[( 2) ( 2)]214RCRC 2222222() [ ()] cos214Y YRCR FGRC 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
5.16 解：要求传输函数和输出Z(t)的均方值，由系统图可知： [() ( )]*() Zt Xt XtTUt ()*[() ( )]*()()*[ () ( )]Xt t t T UtXt Ut Ut T () () ( ) ht Ut Ut T 所以传函为： H( )F[h(t)]Tsin( T/2) T/2exp(j T2) 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
（2）解： E[Z2(t)] 12 GY( )d 12 2N0sin2 T22d N0T4GY( )H( )2GX( )N02T2sin2( T/2)( T/2)2 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
) ( ) ( ) ( H G GX XY) ( ) ( ) ( H G GX YX若输入随机信号为白噪声过程 ， 其 Gx(ω )=N 0 0 / /2 2 ， 则有 ) (2) (0 HNGXY) (2) (0 HNGYX因此当系统性能未知时：若能设法得到互谱密度 ， 就可由式( (5 5. .2 2. . 42) ) 确定线性系统的的传输函数 。
5.2.2.2． 系统输入与输出之间的互谱密度 5.18 解：要求互功率谱密度 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
( ) H j () ()() ()XY X XG GHjG 所以： 22() () () ()Y X XG H G G 已知微分器传递函数为 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
5.23 解：要求自相关函数和功率谱密度 由图可知： () ()() Zt XtYt () [()( )][ ()() ( )( )]ZR EZtZtEXtYtXt Yt ( ) ( )X YR R 由维纳辛钦定理可得： 1() [ ()] ()*()2Z Z X YG FR G G 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
5.26 解：由题可知，所求的系统为一白化滤波器，有： 2() () () 1Y XG H G 2228( )3H ( 8 )( 8 )( 3 )( 3 )j jj j 把已知的有色噪声通过某系统后变为白噪声，这个系统称为白化滤波器。
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对于 物理可实现系统 ，当 当t<0时 时 ，有 有h(t)=0， ， 所以有： d t X hd t h X t Yt) ( ) () ( ) ( ) (0 如果一个线性时不变系统，对任意有限输入其响应有界，则称此 系统是稳定 的。
5.1.3 系统的稳定性与物理可实现的问题 5.26 解：要求系统稳定 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
稳定的最小相位系统的H(s) 的极点在左半S 平面，而零点不在右半S 平面。
H( )8 j 3 j 稳定系统的冲激响应h(t)应 应 绝对可积的，即满足 d h ) (系统传函的极点在S 平面的左半平面或Z 平面的单位圆内。
5.26 解: 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
5.27 解：这是求解一个形成滤波器 形成滤波器 对于某个具有有理谱密度的零均值平稳随机序列，可以把它看作是一零均值单位谱高的白序列通过离散线性系统形成的，这个离散线性系统的传递函数为H(z) （稳定的最小相位系统），称滤波器H(z)为这个随机过程的形成滤波器。
类似离散序列，任意一有理谱密度的平稳过程可以认为是零均值单位谱高的白噪声通过因果线性定常系统H(s) 后形成的。
) ( ) ( ) ( ) (2 j H j H j H GY 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
稳定的最小相位系统的H(s) 的极点在左半S 平面而零点不在右半S 平面。
同题5.26选取稳定的最小相位系统： (2 )( )(1 )(3 )jHj j 2( ) ( )XG H (2 )(2 )(1 )(1 )(3 )(3 )j jj j j j 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
自回归或AR(Autoregresive) 模型 滑动平均(MA) 模型 自回归滑动平均(ARMA) 模型 npll n l nX Y a Y 1qmm n m nX b Y0 qmm n mpll n l nX b Y a Y0 1常见的随机序列的模型 5.30 要求自相关函数和功率谱密度 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
5.30 （1）解： 1 n n nW X X 显然这是一个一阶MA过程，该过程输出的自相关函数满足下列方程 2,00,1, ,( )0,q kX i i ki Wbb k qR kk q 该方程可参考教材107页式（5.5.5） 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
输入随机序列在-1到1间均匀分布，所以： 213X 由上述方程可以算出： 2 1 1(0) ; (1) ; (1)3 3 3W W WR R R 功率谱为： 112() () (1cos)3kjkW WkG Rke 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
（2）解： 1 22n n n nZX X X X2 13,q2,b0 1,b 12,b2 1这是一个二阶MA过程 2 , 04, 13( )1, 230 , 2ZkkR kkk 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
222 2( ) [ ( )]( )4 12 ( ) ( )3 32(3 4cos cos2 )3Z Wj kZkj j j jG F R kR k ee e e e 可求得功率谱为： 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
（3）解： 112n n nY Y X 这是一个一阶AR过程，输出的自相关函数可由Yule-Walker方程表示为： 121( ), 0( )( ) , 0pi YiYpi Y Xia R k i kR ka R i k 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
40, ( )91 40, ( ) ( )2 9YkYk R kk R k P1,a112 RY(k)RY(k)1 4( ) ( )2 9kYR k 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
功率谱密度为： 0 04 1( ) ( )9 24 1 1[ ( ) ( ) 1]9 2 2415 12cosk j kYkj k j kk kG ee e 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
解法二：先计算功率谱，再得到自相关函数 112n n nY Y X 11( ) ( ) ( )2YZ ZYZ XZ 对方程两边作Z变换有： 得传函为： 1( ) 1( )( ) 1 0.51( )1 0.5jY ZH ZX Z ZHe 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
输入和传函知道了，就可得到功率谱： 2( ) ( ) ( )1 1 454 cos 3 15 12cosY XG H G 计算相关函数之前，熟悉一下一个变换对 2 2 2 22 2(1 ) (1 ) 2coskX Xb baa a a 该变换对见教材111页式（5.5.29）和式（5.5.30) 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
利用上述公式可得： 13 1 4 1() ( ) ( )114 2 9 2k kYRk 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
5.31 解：要求差分方程 由题可知 2( ) ( ) ( )Y XG G H 2 1( )1.641.6cosH 得到： 2111( )1.64 0.8 0.81 1(0.8 1) (0.8 1)H ZZ ZZ Z 文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
从稳定性和系统特性考虑选取： 11( )1 0.8HZZ数字滤波器的概念 滤波器是对输入信号的波形或频谱进行某种变换，以得到一定的输出信号。实现滤波的系统是离散的称为数字滤波。
离散线性时不变系统特性可以用h(n),H(z)以及输入输出间的差分方程描述。
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数字滤波器的概念 数字滤波器的一般形式： piiiqjjjz az bz H00) (不失一般性令a 0 =1 ，则其差分方程为： piqjj ij n x b i n y a n y1 0) ( ) ( ) (差分方程为： ()0.8( 1) () Yn Yn Xn
