两条线段和的最小值7篇

两条线段和的最小值7篇两条线段和的最小值　中考数学中的最短问题　—线段和的最值问题　洛南县景村中学　田甜　学习目标：掌握线段和的最小值的求解方法。　知识准备：　1.下面是小编为大家整理的两条线段和的最小值7篇,供大家参考。

篇一：两条线段和的最小值

数学中的最短问题

　 — 线段和的最值问题

　洛南县景村中学

　田甜

　学习目标：掌握线段和的最小值的求解方法。

　知识准备：

　1. 轴对称的性质；

　2. 两点之间线段最短；

　3. 垂线段最短；

　4. 勾股定理；

　5. 角，等腰三角形，特殊四边形，圆的对称性。

　一、

　问题呈现

　1. 如图，要在 街道旁修建 一个饮水站 P, 向居民区 B A,B 提供纯净水，饮水站 P P 应建在什么地方，才能使从 B A,B 到它的距离和最短？为什么？

　2. 如图，要在街道 旁修建一个饮水站 P, 向居民区 B A,B 提供纯净水，饮水站 P P 应建在什么地方，才能使从 B A,B 到它的距离和最短？为什么？

　小结：求线段和的最小值的一般步骤：

　（1 1 ）. .

　（2 2 ）. .

　基本图形：

　基本解法：

　二、

　拓展延伸

　出题背景变式有：三角形，菱形，矩形，正方形，圆，坐标轴，抛物线等。

　解题思路：

　类型一、两个定点，一个动点

　1. 如图， 菱形 D ABCD 的两条对角线分别长 6 6 和 和 8 8 ，点 P P 是对角线 AC上的一个动点，点 N M,N 分别是边 C AB,BC 的中点，则 N PM+PN 的最小值是

　练习：如图，正方形 D ABCD 的边长为 2 2 ，E E 为 为 B AB 的中点，P P 是 是 C AC 上一动点，则 E PB+PE 的最小值是

　类型二、两个动点，一个定点

　如图，在锐角△C ABC 中， AB ＝4 4 √2 2 ，∠ BAC=45 °, , ∠C BAC 的平分线交C BC 于点 N D,M,N 分别是 D AD 和 和 B AB 边上的动点，则 N BM+MN 的最小值为

　练习：如图，菱形 D ABCD 中， AB=2, ∠ A=120 °, ,点 点 K P,Q,K 分别为线段D BC,CD,BD 上的任意一点，则 K PK+QK 的最小值为

　类型三、多条线段和最小

　如图，在直角坐标系中，点 A A 的坐标是（2 2 ，4 4 ），点 B(6,2),在 在 y y 轴和 和 x x 轴上找两点 P,Q, 使得 Q A,B,P,Q 四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出 Q P,Q 两点的坐标。

　练习：著名的恩施大峡谷（A A ）

　和世界级 自然保护区星斗山（B B ）

　位于笔直的沪渝高速公路 X X 同侧， AB=50km ，B A,B 到直线 X X 的距离分别为m 10km 和 和 40km ，拟建的恩施到张家界高速公路 Y Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B B 到直线 Y Y 的距离为 30km ，请你在 X X旁和 Y Y 旁各修建一服务区 P P， ， Q, 使 Q P,A,B,Q 组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。

　三、

　小结升华

　本节课学习的主题是

　问题。

　解题思路：

　数学思想：

　四、

　布置作业

　1. 如图，⊙O O 的半径为 2 2 ，点 C A,B,C 在⊙O O ， 上， OA ⊥ OB, ∠ AOC=60 ° ,P是 是 B OB 上一动点，求 C PA+PC 的最小值。

　2. 如图，等边△C ABC 的边长为 6 6 ，D AD 是 是 C BC 边上的中线，M M 是 是 D AD 上的 动 点 ， E E 是 是 C AC 则 边 上 一 动 点 ， 则 M EM+CM 的 最 小 值 为

篇二：两条线段和的最小值

饮马问题---- 两线段和最小值 题型专题训练

　【学习目标】

　1.利用对称变换、平移变换解决有关最值问题； 2.体会“转化”、“数形结合”的数学思想在解决综合题中的作用. 【学习重、难点】利用对称变换、平移变换解决有关最值问题. 一、问题引入：

　【 题型一】

　(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦．有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图 1，从A 地出发到河边饮马，然后再去 B 地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图 2 中呢？

　跟踪练习：

　跟踪练习：如图 3，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为

　 ． 【 题型二】第 (“过桥问题”——北师大版数学教材八年级下册第 90 页第 18 题改编) 如图 4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁 A 处与 B 处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）．

　 跟踪练习：

　 跟踪练习：如图 5，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点， 顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点． 若 E、F 为边 OA 上的两个动点（E 在 F 左侧），且 EF=2，当四边形 CDEF 的 周长最小时，点 E、F 的坐标分别为

　、

　 ． 二、问题解决：

　如图 6，已知抛物线的解析式为 y=-x 2 -2x+8，对称轴 为 x=-1，点 E(1，5)在抛物线上，抛物线与 x 轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)． *（1）作点 E 关于对称轴的对称点 F，则点 F

　(填“在”或“不在”)抛物线上，其坐标为

　 ；

　**（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 M E+MC 的和最小，求出点此时 M 的坐标； ***（3）在 AB 上存在两个动点 P、Q(点 P 在 Q 的左侧)，且 PQ=2，连接QC、FP，当四边形 PQCF 周长最小时，求点 P 的坐标； ****（4）若点 D 是抛物线上的一个动点，连接 AD、OD，将△AOD 绕 OD折叠，使得点 A 落在 A’ 处，连接 CA ’ 求 CA ’ 的最大值和最小值.

　图 6 l 1图 4 l 2图 2 图 1 图 3 备用图

　图 8 【拓展学习】

　1.如图 7，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边 BC、CD 上分别存在点 G、H，则四边形 EFGH 周长的最小值是

　． 2.如图 8，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点 A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为

　 ．

　三、课堂小结：

　这节课，你有哪些收获？

　 四、课后作业

　如图 9，抛物线223y x bx c = − + + 与 x 轴相交于点 A，C，与 y 轴相交于点 B，连接 AB，BC，点 A 的坐标为（2，0）， tan 2 BAO ∠ = .以线段 BC 为直径作 M ⊙ 交 AB 于点 D.过点 B 作直线 l AC ∥ ，与抛物线和 M ⊙ 的另一个交点分别是 E，F. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求点 C 的坐标和线段 EF 的长； （3）如图 10，连接 CD 并延长，交直线 l 于点 N.点 P，Q 为射线 NB 上的两个动点（点 P 在点 Q 的右侧，且不与 N 重合）线段 PQ 与 EF 的长度相等，连接 DP，CQ，四边形 CDPQ 的周长是否有最小值？若有，请求出．．此时点 P 的坐标并直接写出．．．．四边形 CDPQ 周长的最小值；若没有，请说明理由.

　 图 10 图 9 图 7

篇三：两条线段和的最小值

最值问题 3

　线段和的最小值 线段和的最小值

　 点 A、B 在直线异侧 作法 作图 原理

　 在直线

　l 上求一点

　P ，使PA+PB 值最小。

　连

　AB ，与

　l 交点即为

　P ．

　两点之间线段最短．

　PA+PB 最 小 值为 AB．

　点 A、B 在直线异侧 （“ 将军饮马” ）

　作法 作图 原理

　 在直线

　l 上求一点

　P ，使PA+PB 值最小．

　作

　B 关于

　l 的对称点

　B ＇ 连

　A B ＇，与

　l 交点即为

　P ．

　两点之间线段最短．

　PA+PB 最 小 值为 A B＇．

　平移型将军饮马 作法 作图 原理

　在直线

　l 上求两点

　M 、 N （ M 在左），使

　MN

　a ，并使AM+MN+NB 的值最小 .

　将点

　A 向右平移

　a 个长度 单位得

　A ＇，作

　A ＇关于

　l 的对称点

　A ＇＇，连

　A ＇＇ B ，交 直线

　l 于点

　N ，将

　N 点向 左平移 a 个单位得 M． （亦可先对称再平移）

　两点之间线段最短．

　AM+MN+BN 的最小值为 A＇＇B+MN．

　 “ 造桥选址” 作法 作图 原理

　直线

　m ∥

　n ，在

　m 、

　n ，

　上 分 别 求 点

　M 、 N ， 使

　MN ⊥ m ，且

　AM+MN+BN 的值最小。

　 将点

　A 向下平移

　MN 的长度单位 得

　A ＇，连

　A ＇B ，交

　n 于点

　N ，过

　N 作

　NM ⊥

　m 于 M .

　两点之间线段最短．

　AM+MN+BN 的最 小 值 为 A ＇B+MN．

　 作法 作图 原理

　在直线 l 1

　、 l 2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．

　 分别作点

　P 关于两直线的 对称点

　P ＇和

　P ＇，连

　P ＇P ＇ ， 与两直线交点即为

　M ， N ．

　 两点之间线段最短．

　PM+MN+PN 的最 小 值 为 线 段 P＇P＇＇的长。

　 作法 作图 原理

　 在直线 l 1

　、 l 2

　上分别求点M 、N ，使四边形 PQMN 的周长最小。

　 分 别 作 点 Q

　、P 关于直线 l 1

　、 l 2 的对称点 Q＇和 P＇连 Q＇P＇， 与两直线交点即 为 M，N．

　两点之间线段最短

　四 边 形

　PQMN 周长的最小 值为线段

　Q ＇ P ＇的长。

　 作法 作图 原理

　A 为 l 1

　上一定点，B 为 l 2

　上；A 为 l 1

　上一定点，B 为 l 2 上一定点，在 l 2

　上求点 M在 l 1 上 求 点 N ， 使AM+MN+NB 的值最小．

　 作点 A 关 于 l 2

　 的 对 称 点A＇，作点 B 关于 l 1

　 的对称点 B＇，连 A＇B＇交 l 2 于 M，交 l 1

　于 N .

　 两点之间线段最 短AM+MN+NB 的最小值为线段 A＇B＇的长．

　作法 作图 原理

　在

　l 1

　上求点

　A ，在

　l 2

　上求

　点

　B ，使

　PA+AB 值最小．

　作点 P 关于 l 1

　的对称点 P＇，作 P＇B⊥ l 2 于B，交 l 1

　于 A．

　点到直线，垂线段最短

　PA+AB 的值最小为 P＇B

　1. (1)已知，如图△ABC 为等边三角形，高 AH=10cm，P 为 AH 上一动点，D 为 AB的中点，则 PD+PB 的最小值为______cm.

　 (2)如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是

　 ．

　(3)如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 2 ，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为

　 ．

　 (4)如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5．若点 M、N 分别是线段 AC，AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为

　．

　 （5）如图正方形 ABCD 的边长为 6，E，F 是对角线 BD 上的两个动点，且 EF=2 2 ，连接 CE，CF，则△CEF 周长的最小值为

　．

　2. 如图，已知抛物线 y＝﹣x 2 +bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，当 MA+MC 的值最小时，求点 M 的坐标及最小值．

　3. 如图，已知二次函数 y＝﹣ x 2 +2 x+3 的图象与 x 轴交于点 A、点 B，交 y 轴于点 C． （1）求直线 BC 的函数表达式； （2）如图，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物线于点 D，当△ BDC 的面积最大时，在 x 轴上是否存在一点 M，使△ CPM 的周长最小，若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

　4．如图，已知抛物线 y= x 2 ﹣ x﹣3 与 x 轴交于 A 和 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴相交于点 C，顶点为 D （1）求出点 A，B，D 的坐标； （2）若线段 OB 在 x 轴上移动，且点 O，B 移动后的对应点为 O′，B′．首尾顺次连接点 O′、B′、D、C 构成四边形 O′′B′DC，请求出四边形 O′B′DC 的周长最小值．

　5．抛物线 y=﹣ x 2 ﹣ x+ 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点． （1）如图 1，连接 CD，求线段 CD 的长； （2）如图 2，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，PF⊥x 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E；将线段 OB 沿 x 轴左右平移，线段 OB 的对应线段是 O 1 B 1 ，当 PE+ EC 的值最大时，求四边形 PO 1 B 1 C 周长的最小值，并求出对应的点 O 1 的坐标；

　6. 如图，抛物线 y=﹣ x 2 ﹣ x+ 与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的左侧），与y 轴交于点 C，已知点 D（0，﹣ ）． （1）求直线 AC 的解析式； （2）如图 1，P 为直线 AC 上方抛物线上的一动点，当△ PBD 面积最大时，过 P 作 PQ⊥x轴于点 Q，M 为抛物线对称轴上的一动点，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N，连接 PM，NQ，求 PM+MN+NQ 的最小值．

　 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x 2 ﹣ x﹣ 与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 E（4，n）在抛物线上． （1）求直线 AE 的解析式； （2）点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接 PC，PE．当△ PCE 的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值．

　8．如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=﹣ x 2 ﹣ x+ 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线上一点 D 的横坐标为﹣5． （1）求直线 BD 的解析式； （2）点 E 是线段 BD 上的动点，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当折线 EF+BE 最大时，在对称轴上找一点 P，在 y 轴上找一点 Q，连接 QE、OP、PQ，求 OP+PQ+QE 的最小值．

　9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣ x 2 + x+3 ，分别交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴交于 C 点，顶点为 D． （1）如图 1，连接 AD，R 是抛物线对称轴上的一点，当 AR⊥AD 时，求点 R 的坐标； （2）在（1）的条件下．在直线 AR 上方，对称轴左侧的抛物线上找一点 P，过 P 作 PQ⊥x轴，交直线 AR 于点 Q，点 M 是线段 PQ 的中点，过点 M 作 MN∥AR 交抛物线对称轴于点N，当平行四边形 MNRQ 周长最大时，在抛物线对称轴上找一点 E，y 轴上找一点 F，使得PE+EF+FA 最小，并求此时点 E、F 的坐标．

　10. 抛物线 y=﹣ x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC．

　（1）如图 1，求直线 BC 的表达式；

　（2）如图 1，点 P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接 PC，PB，当△ PCB面积最大时，一动点 Q 从点 P 从出发，沿适当路径运动到 y 轴上的某个点 G再沿适当路径运动到 x 轴上的某个点 H 处，最后到达线段 BC 的中点 F 处停止．求当△ PCB 面积最大时，点 P 的坐标及点 Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长．

篇四：两条线段和的最小值

O/G/O将军饮马问题----两线段和最小值专题

　L/O/G/O1、平移三种变换的本质相同：都是转化为全等，进而有对应边相等、对应角相等。2、旋转 3、轴对称

　( ( “将军饮马”问题) )在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？图1 图2转化思想两点之间，线段最短。FFA+FB>AB化同侧为异侧——轴对称变换化折线为直线——“两点之间、线段最短”

　如图3，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为 ．图3681010[想一想]如果把这道题看成“将军饮马”的问题，你觉得图中哪条线段可以看成河流，哪两个点可以看成A和B呢？

　( ( “将军饮马”问题) )在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？图1

　图4（ “过桥问题” — 北师大版数学教材八年级下册第90 页第18题 题 改编. . ）如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？ （注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）QP答：桥应建在PQ处才能使由甲到乙的路线最短.平移变换转化思想

　如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，点E、F的坐标分别为 、 ．图5D’QE[想一想]这个题跟刚刚的过桥问题有什么联系和区别？如果能把这个题看成是过桥问题的话，请问桥是指哪一段？F（1/3，0）（7/3，0）

　如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，点E、F的坐标分别为 、 ．图5D’QE[想一想]这个题跟刚刚的过桥问题有什么联系和区别？如果能把这个题看成是过桥问题的话，请问桥是指哪一段？F（1/3，0）（7/3，0）

　图6在(-3，5)如图6，已知抛物线的解析式为y=-x 2 -2x+8，对称轴为x=-1，点E(1，5)在抛物线上，抛物线与x轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)．*（1）作点E关于对称轴的对称点F，则点F (填“在”或“不在”)抛物线上，其坐标为 ；**（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使M E + MC的和最小，求出点此时M的坐标；***（3）在AB上存在两个动点P、Q(点P在Q的左侧)，且PQ=2，连接QC、FP，当四边形PQCF周长最小时，求点P的坐标；****（4）若点D是抛物线上的一个动点，连接AD、OD，将△AOD绕OD折叠，使得点A落在A ’ 处，连接CA ’ 求CA ’ 的最大值和最小值.

　如图7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边BC、CD上分别存在点G、H，则四边形EFGH周长的最小值是 ．图7

　如图8，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ．图8

　这节课，你有哪些收获？

　1.知识方面：“引圆”法解决最值问题。两点之间线段最短轴对称变换平移变换轴对称变换平移变换化同侧为异侧——轴对称变换化折线为直线——“两点之间、线段最短”

　2.数学思想：“转化”思想、“数形结合”思想。

　图10图9

　2．如图11，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）图11

　如图，在∠OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得△PMN周长最短.

　如图，在∠OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得△PMN周长最短.理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。。一般做法：作点P关于OA和OB的对称点P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA、OB的交点即为所求点。P1P2即为最短周长。

　如图1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短呢？一般做法：作点A（B）关于直线的对称点，连接A’B，A’B与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离理由：A’为A的对称点，所以无论P在直线 任何位置都能得到AP=A’P。所以PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了求A’到B的最短距离，直接相连就可以了

　图7

篇五：两条线段和的最小值

5将军饮马问题---- 两线段和最小值 题型专题训练

　 【学习目标】1.利用对称变换、平移变换解决有关最值问题；2.体会“转化”、“数形结合”的数学思想在解决综合题中的作用.【学习重、难点】利用对称变换、平移变换解决有关最值问题.一、问题引入：【 题型一】( ( “将军饮马”问题) )在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦．有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图 1，从 A 地出发到河边饮马，然后再去 B 地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图 2 中呢？跟踪练习：如图 3，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为　　

　 ．【 题型二】( ( “过桥问题” —— 北师大版数学教材八年级下册第 90 页第 18 题改编) )如图 4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁 A 处与 B 处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）．跟踪练习：如图 5，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点．若 E、F 为边 OA 上的两个动点（E 在 F 左侧），且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，点 E、F 的坐标分别为

　、

　 ．二、问题解决：如图 6，已知抛物线的解析式为 y=-x 2 -2x+8，对称轴为 x=-1，点 E(1，5)在抛物线上，抛物线与 x 轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)．*（1）作点 E 关于对称轴的对称点 F，则点 F

　(填“在”或“不在”)抛物线上，其坐标为

　 ； **（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 M E+MC 的和最小，求出点此时 M 的坐标；***（3）在 AB 上存在两个动点 P、Q(点 P 在 Q 的左侧)，且 PQ=2，连接 QC、FP，当四边形 PQCF 周长最小时，求点 P 的坐标；****（4）若点 D 是抛物线上的一个动点，连接 AD、OD，将△AOD 绕OD 折叠，使得点 A 落在 A ’ 处，连接 CA ’ 求 CA ’ 的最大值和最小值.图 6l 1图 4l 2图 2图 1图 3备用图

　图 8【拓展学习】1.如图 7，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边 BC、CD 上分别存在点 G、H，则四边形 EFGH 周长的最小值是

　．2.如图 8，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点 A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为　　

　 ．三、课堂小结：

　这节课，你有哪些收获？四、课后作业如图 9，抛物线 与 轴相交于点 A，C，与 y 轴相交于点 B，连接 AB，BC，点 A223y x bx c     x的坐标为（2，0）， .以线段 BC 为直径作 交 AB 于点 D.过点 B 作直线 ， tan 2 BAO   M ⊙ l AC ∥与抛物线和 的另一个交点分别是 E，F. M ⊙（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点 C 的坐标和线段 EF 的长；（3）如图 10，连接 CD 并延长，交直线 l 于点 N.点 P，Q 为射线 上的两个动点（点 P 在点 Q 的 NB右侧，且不与 N 重合）线段 PQ 与 EF 的长度相等，连接 DP，CQ，四边形 CDPQ 的周长是否有最小值？若有，请求出此时点 P 的坐标并直接写出四边形 CDPQ 周长的最小值；若没有，请说明理由.图 10图 9图 7

篇六：两条线段和的最小值

和的最小值

　( 教学反思)

　 本节课是 九年级 的一节 复习的专题课，学生己经系统学习了初中阶段全部的数学内容，对基础知识有了一定的掌握，在此基础上进一步复习专题 --- 线段和的最小值问题。本节内容主要是运用数形结合和转化的数学思想，综合轴对称、线段的性质、勾股定理及一些常见的轴对称图形的性质解决线段和的最小值问题。通过学习，以期使学生掌握解决此类问题的方法，提高学生综合运用数学知识的能力。

　1. 本节课的设计始终遵循教学由浅入深, , 层层推进的原则, , 先由学生极容易解决的课本上的修奶站问题入手, ,

　然后通过 变式， 训练， 综合利用对称的性质，建立数学模型，从而掌握解决这一类问题的方法, ,最后把两条线段和的最小值转化求三条线段和的最小值, , 层层深入, ,设计合理科学 。

　2 2. . 整个教学过程, , 通过观察、分析、对比、转化等方法, , 注重 提高学生分析问题、解决问题的能力，进一步强化分类、归纳、综合的思想，培养学生自主探究的意识和能力。

　3 3. . 通过对问题的解决， 使学生 了解专题的复习方法，并通过教师的指导、同学的。

　合作，享受学习数学的乐趣，树立学好数学的信心。

　4. 不足之处: : 部分学生基础较差, , 不能 找准问题本质，化“折”为“直”，求线段之和最短，综合运用有关知识解决问题。

篇七：两条线段和的最小值

线段之和最短专题 一、数学模型 1、实际问题：

　要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短 2、数学问题：

　已知：直线 l 和 l 的同侧两点 A、B。

　求作：点 C，使 C 在直线 l 上，并且 AC＋CB 最小。

　二、构建“对称模型”实现转化

　三、练习题

　1 题图

　 2 题图

　3 题图 1、如图，点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 CD＝18cm，则△PMN的周长为________。

　2、已知，如图 DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E，且 AC＝5，BC＝8，则△AEC 的周长为__________。

　3、已知，如图，在△ABC 中，AB＜AC，BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E， AC＝8，△ABE 的周长为 14，则 AB 的长

　。

　4、如图，在 ABC △ 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，若 AC＝5cm，BC＝4cm，则△ BDC 的周长为________． 【正方形专区】5、如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM＝2，N 是 AC 上的一动点， DN＋MN 的最小值为_____

　 4 题图

　 5 题图

　6 题图

　 6. （2013•钦州）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE=2，AE=3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE的最小值是 _________ ． 7. （2013•莆田）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在 DC 边上且 DP=1，点 Q 是 AC 上一动点，则 DQ+PQ的最小值为 _________ ．

　7 题

　 8 题

　 9 题

　10 题 8.（2012•攀枝花）如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，则 PE+PB的最小值为 _________ ．

　9.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，M、N 分别为 AB、AD 的中点，在对角线 BD 上找一点 P，使 MNP △的周长最小，则此时 PM+PN= _________ ．

　10.（2010•越秀区二模）如图，正方形 ABCD 的面积为 18， ABE △ 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC 上有一动点 P，则 PD+PE 的最小值为 _________ ． 【菱形矩形梯形专区】

　11.（2013•内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M、N 分别是边 BC、CD 的中点，P 是对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= _________ ．

　 11 题

　 12 题

　13 题

　12.（2008•荆门）如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是边 AB、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是 _________ ．

　13.（2011•海南）如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中， DAB=60° ∠ ，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上的一动点，则 EF+BF 的最小值为 _________ ．

　14.（2014•徐州一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为 CD 边的中点，P 为 BC 边上的任一点，那么，AP+EP 的最小值为 _________ ．

　 14 题

　 15.（2011•天水）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线 AC 平分∠BAD，点 E 在 AB上，且 AE=2（AE＜AD），点 P 是 AC 上的动点，则 PE+PB 的最小值是 _________ ．

　【三角形专区】

　1.如图，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 P 是 BC 边的中垂线 MN 上任一点，则 PC+PD的最小值为 _________ ．

　1 题

　 2 题

　3 题

　 2,（2010•滨州）如图，等边△ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE=2，EM+CM 的最小值为 _________ ．

　3.如图，在等腰三角形 ABC 中，∠ABC=120°，点 P 是底边 AC 上一个动点，M，N 分别是 AB，BC 的中点，若 PM+PN 的最小值为 2，则△ABC 的周长是 _________ ．

　4.如图，等腰三角形 ABC 底边 BC 的长为 4cm，面积是 12cm2 ，腰 AB 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 F，若 D 为BC 边上的中点，M 为线段 EF 上一动点，则△BDM 的周长最短为 _________ cm．

　4 题

　5 题

　6 题

　7 题 5.（2009•陕西）如图，在锐角△ABC 中，AB=4 ，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 _________ ．

　6.（2006•河南）如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是 _________ ．

　 7.已知：如图 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=BC=8，M 在 BC 上，且 BM=2，N 是 AC 上一动点，则 BN+MN 的最小值为 _________ ． 补充：较难 考点一：几何图形中的最小值问题 例 1.（2013•钦州）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE=2，AE=3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值是 _________ ．

　图 1

　 图 2

　图 3 例 2.（2009•陕西）如图 2，在锐角 ABC △ 中，AB=4 ， BAC=45° ∠ ， BAC ∠ 的平分线交 BC于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是

　 ．

　例 3.如图 3，点 P 是 Rt ABC △ 斜边 AB 上的一点，PE AC ⊥ 于 E，PF⊥BC 于 F，BC=6，AC=8，则线段 EF 长的最小值为

　；

　例 4.（2013•湖南自主招生）如图，在 Rt ABC △ 中，AB=BC=6，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边 AC 上的一个动点，则 PEF △ 周长的最小值为

　.

　 图 4

　 图 5 例 5.（2014•开封）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △ 的顶点 A 的坐标为（9，0），点 C 的坐标为（2，0），tan BOA= ∠33 ，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（

　）

　 A． 67

　 B．231

　 C. 6

　 D． 19 3

　例 6．（2013•武汉模拟）如图 6，等腰 Rt ABC △ 中， ACB=90° ∠ ，AC=BC=4， C ⊙ 的半径为 1，点 P 在斜边 AB 上，PQ 切 O ⊙ 于点 Q，则切线长 PQ 长度的最小值为（

　）

　 图 6

　图 7

　 图 8 例 7.（2012•海门市一模）如图 7，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为BC 上两个动点，且 PQ=3，当 CQ= _________ 时，四边形 APQE 的周长最小．

　考点二：几何图形中的最大值问题 例 1.已知点 A（1，2）、B（4，-4），P 为 x 轴上一动点． （1）若|PA|+|PB|有最小值时，求点 P 的坐标； （2）若|PB|-|PA|有最大值时，求点 P 的坐标．

　 例 2.如图 8 所示，已知 A11( ,y )2，B2(2,y ) 为反比例函数1yx 图像上的两点，动点 P (x,0) 在x 正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是

　 .

　例 3.(2014•深圳)如图，在平面直角坐标系中， M ⊙ 过原点 O，与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（0，3），点 C 为劣弧 AO 的中点，连接 AC 并延长到 D，使 DC=4CA，连接 BD． （1）求 M ⊙ 的半径； （2）证明：BD 为 M ⊙ 的切线； （3）在直线 MC 上找一点 P，使|DP﹣AP|最大．

　 1.如图 1，正方形 ABCD 的面积为 18， ABE △ 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一动点 P，则 PD+PE 的最小值为 _____ ．

　 图 1

　 图 2

　 图 3

　图 4 2.（2014•徐州一模）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为 CD 边的中点，P 为 BC 边上的任一点，那么，AP+EP 的最小值为 _____ ．

　3.（2012•萧山区模拟）如图 3，直角三角形 ABC 中， C=90° ∠ ，AC=1，BC=2，P 为斜边 AB 上一动点．PE BC ⊥ ，PF CA ⊥ ，则线段 EF 长的最小值为_______．

　4.（2015•武汉）如图 4， AOB=30° ∠ ，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是

　 .